Es evidente que $f \circ f$ es impar siempre que $f$ es impar. De hecho, suponiendo $f(-x) = -f(x)$ para todos $x$ obtenemos
$$ f(f(-x)) = f(-f(x)) = -f(f(x)). $$
Por lo tanto, $f \circ f$ también es una función impar.
Mi pregunta es la inversa de la afirmación anterior.
Supongamos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua. Si $f \circ f$ es una función impar. ¿Qué puedo decir sobre $f$ ¿en sí? ¿Es impar?
Defina $f(x)=\begin{cases}0&x\leq0\\-x&x>0\end{cases}$ .
Entonces $f(f(-x))=-f(f(x))=0$ pero $f(-x)\neq-f(x)$ excepto en $x=0$ . Por lo tanto, tenemos un impar $f(f(x))$ que no implica un impar $f(x)$ .
Tenga en cuenta que $f(f(x))$ es, de hecho, par e impar. Esta respuesta fue inspirada en parte por el usuario @Henry_Lee .
Es un contraejemplo inteligente. Si sustituimos $-x$ a $-x^2$ en la definición de $f$ entonces incluso la diferenciabilidad de $f$ no implica la afirmación contraria. Gracias.
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