Deje $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Sabemos que si $f^{\prime}(a)$ existe para algunos $a\in\mathbb{C}$ $f$ es continua en a $a$. Esto es debido a que, a partir de la definición de la derivada, $$f(z)-f(a)=[f^{\prime}(a)+\varepsilon(z)](z-a)$$ for some $\varepsilon$ such that $\varepsilon(z)\to0$ as $z\a$, and hence $f(z)\f(a)$.
Creo que podemos interpretar este geométricamente diciendo que, por $z$ cerca de $a$, si tomamos el vector de$a$$z$, gire a la izquierda sobre su cola por $\mathrm{Arg}\,{(f^{\prime}(a))}$ y la escala de su longitud por $\lvert f^{\prime}(a)\rvert$, entonces obtenemos aproximadamente el vector de $f(a)$ $f(z)$(es sólo aproximada, ya que de la $\varepsilon$ término de error, pero para $z$ cerca de $a$ $\varepsilon$ es pequeña).
Sin embargo, considere el siguiente argumento heurístico: vamos a $z_{1}$ $z_{2}$ tanto estar "cerca" $a$ (y por lo tanto cerca el uno del otro). La interpretación anterior sugiere entonces que el vector de $f(a)$ $f(z_{1})$debe ser aproximadamente el mismo que el vector de$f(a)$$f(z_{2})$, y por lo tanto $f(z_{2})-f(z_{1})$ debe ser pequeño en magnitud. Esto parece sugerir que $f$ debe ser continua, no sólo en $a$, pero también en algunos pequeños intervalo alrededor de a $a$. Esto parece demasiado bueno para ser verdad.
De ahí mi pregunta:
¿Existe una función de $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que $f^{\prime}(a)$ existe en algún punto de $a\in\mathbb{C}$ pero $f$ es continua en ningún otro lugar?
Actualización, añadió más tarde: Una rápida gracias a los que respondieron. Desde entonces he pensado que a través de esto con un amigo y nos hemos encontrado un problema con la heurística argumento:
Correctamente interpretado, el heurístico argumento es decir que si $z_{1}$ $z_{2}$ son cerca de $a$, $f(z_{1})$ está cerca de a $f(z_{2})$. Sin embargo, para tener continuidad en $z_{1}$, dicen, tenemos que ser capaces de hacer las $f(z_{2})$ arbitrariamente cerca de $f(z_{1})$ eligiendo $z_{2}$ a estar lo suficientemente cerca de a $z_{1}$ --- ahí está el problema. Supongamos $\lvert z_{3}-z_{1} \rvert < \lvert z_{2}-z_{1} \rvert$, es decir, supongamos $z_{3}$ está aún más cerca de $z_{1}$ $z_{2}$ es. Entonces, para $f$ a ser continua, tenemos que ser capaces de garantizar que $f(z_{3})$ está aún más cerca de a $f(z_{1})$ (de $f(z_{2})$); en general, no podemos garantizar esto.
Si llego a ella, yo podría tratar de trabajar a través de los detalles en un caso concreto y ver si hay otros problemas. Si puedo llegar a ninguna parte, voy a publicar los resultados como una respuesta.
