¿$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(\sqrt{n})}}{n}$ Converge?

Question

La serie es: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(\sqrt{n})}{n}$$

Teniendo en cuenta que no siempre es positivo, yo reemplace $\frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}$ con su valor absoluto y me encuentro con que: $$\vert \frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}\vert\gt \frac{\cos^2{\sqrt{n}}}{n}=\frac{\ 1+\cos{2\sqrt{n}}}{2n}=\frac{1}{2n}+\frac{\cos{2\sqrt{n}}}{2n}$$ si $\sum_{n=1}^\infty \vert\frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}\vert $ converge, entonces $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}$ converge.Utilizando la prueba de Comparación,podemos sacar la conclusión de que $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}$ converge , lo cual es imposible. Así que tengo que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}$ absolutamente diverge. Pero no puedo averiguar si $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{\sqrt{n}}}{n}$ converge o no.

He tratado de Dirichlet de la prueba, pero no puedo averiguar si $$S_{n}=\sum_{k=1}^n \cos{\sqrt{k}}$$ es acotada.

(Esta es mi primera pregunta.Tal vez allí existe algunos errores en mi conclusión.Gracias. :)

Answer 1

Nos muestran que $N\to\sum_{n = 1}^N {\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}}$ es una secuencia de Cauchy y, por tanto, la serie es convergente.

Sugerencia. Mediante el uso de la MVT demostrar que para $n\geq 1$ y para todas las $x\in [n,n+1)$ $$\left|\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}-\frac{\cos(\sqrt{x})}{x}\right|\leq \frac{1}{n^{3/2}}.$$ A continuación, para $M>N\geq 1$, $$\begin{align} &\left|\sum_{n = N}^M {\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}} - \int_N^{M + 1} {\frac{{\cos (\sqrt{x} )}}{x}dx} \right|\\ &=\left|\sum_{n = N}^M {\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}} - \sum_{n = N}^M {\int_n^{n + 1} {\frac{{\cos (\sqrt{x} )}}{x}dx} } \right|\\ &\leq\sum_{n = N}^M \int_n^{n + 1}\left|{\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}} - { {\frac{{\cos (\sqrt{x} )}}{x}} } \right|dx \le \sum_{n = N}^M \frac{1}{n^{3/2}}.\end{align}$$ Tenga en cuenta que desde $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}$ es convergente entonces $$\lim_{M,N\to +\infty} \sum_{n = N}^M \frac{1}{n^{3/2}}=0.$$ Por otra parte $$\int_1^{+\infty}\frac{{\cos (\sqrt{x} )}}{x}dx=2\int_1^{+\infty}\frac{{\cos (u )}}{u}\, du$$ donde la última integral es convergente, y tenemos que $$\lim_{M,N\to +\infty}\int_N^{M+1}\frac{{\cos (\sqrt{x} )}}{x}dx=0.$$

Answer 2

No es un teórico de la respuesta, sino un computacional. Corrió un SageMath código de comprobar la suma. Parece que la suma es acotada entre oscila en el barrio de $1/3$.

n = 1
s = 0
s_min = s_max = -0.33

while(n < 10^12):
    s = s + cos(n^0.5)/n
    if(s < s_min):
        s_min = s
    if(s > s_max):
        s_max = s
    if(n%10^6 == 0):
        print(n,s,s_min,s_max)
    n = n + 1

A continuación se realiza la suma de los primeros 540 millones de términos. Voy a mantener la actualización de la suma después de cada 100 millones de términos para ver si y donde se muestra sugerencias de convergencia. Mirando estos números, me pregunto si la suma oscila entre -0.3307 y 0.3306.

     n             s_n     
(537000000, -0.330621546932186)
(538000000, -0.330725062788227)
(539000000, -0.330687353946068)
(540000000, -0.330649408748269)
(541000000, -0.330757389552252)
(542000000, -0.330602401857676)
(543000000, -0.330766627976051)
(544000000, -0.330637600125639)
(545000000, -0.330692819220692)
(546000000, -0.330730454234348)
(547000000, -0.330610479504947)
(548000000, -0.330771768297931)
(549000000, -0.330629435680553)
(550000000, -0.330695312033157)
(551000000, -0.330735165460147)
(552000000, -0.330605859570737)
(553000000, -0.330764635324360)
(554000000, -0.330655186664157)

Answer 3

Notas: $\lfloor x \rfloor$ es la función del suelo, $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$ , de modo que $x=\lfloor x\rfloor + \{x\}$.

La aplicación parcial de la suma con $f(x)=\frac{\cos(\sqrt x)}x$, $$\begin{align} \sum_{n=1}^N \frac{\cos(\sqrt n)}n&=\int_{1-}^N f(x)d\lfloor x \rfloor \\ &=f(x)\lfloor x\rfloor \Big\vert_{1-}^N-\int_{1-}^N f'(x)\lfloor x\rfloor dx\\ &=f(N)(N-\{N\})-\int_1^N xf'(x)dx+\int_1^N\{x\}f'(x)dx\\ &=Nf(N)-f(1)-\int_1^Nxf'(x)dx+\int_1^N\{x\}f'(x)dx+f(1)-\{N\}f(N). \end{align} $$ De integración por partes, la suma de los tres primeros términos es $$ \int_1^{N}f(x)dx $$ Así, tenemos la siguiente como $N\rightarrow\infty$, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\sqrt n)}n=\int_1^{\infty}f(x)dx+\int_1^{\infty}\{x\}f'(x)dx+\cos 1. $$ Es fácil ver que la integral converge.

Answer 4

Este desarrollo es similar a la de usuario i707107 pero es más detallada y evita la expresión extraña $d \lfloor x \rfloor$.

Dejar

$$c_{k} = c(k) = \frac{\cos(\sqrt{k})}{k}$$

tratamos de encontrar una representación integral de la suma parcial

$$s_n = \sum_{k=1}^n c_{k}$$

Las fórmulas para la suma parcial son

$$\sum_{k=1}^n a_{k} b_{k} = A_{n} b_{n} + \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$

$$A_{k} = \sum_{i=1}^k a_{i}$$

Dejando $a_{k}=1, b_{k} = c_{k}$ tenemos $A_{k} = k$.

Ahora viene el truco que introduce una integral: tenemos

$$(b_{k}-b_{k+1}) = - \int_{k}^{k+1} c'(x)\;dx$$

y, lo que es más, el factor de $k$ pueden ser incorporadas en la integral:

$$k (b_{k}-b_{k+1}) = - k \int_{k}^{k+1} c'(x)\;dx = - \int_{k}^{k+1} \lfloor x\rfloor c'(x)\;dx $$

Donde $\lfloor x\rfloor$ es la función del suelo.

Por lo tanto, el uso de

$$\lfloor x\rfloor = x -\{x\} $$

donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$, la suma parcial se convierte en

$$s_{n} = n c_n -\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \lfloor x\rfloor c'(x)\;dx \\ = n c_n -\int_{1}^{n} x c'(x)\;dx + \int_{1}^{n} \{x\} c'(x)\;dx$$

Por la integración parcial de la primera integral el término $n c_{n}$ cae y tenemos

$$s_{n} = \cos(1) +\int_{1}^{n} c(x)\;dx + \int_{1}^{n} \{x\} c'(x)\;dx$$

La primera integral se puede resolver de forma explícita

$$\int_{1}^{n} c(x)\;dx = 2 \text{Ci}\left(\sqrt{n}\right)-2 \text{Ci}(1)$$

Donde $\text{Ci}$ es la integral del coseno.

La segunda integral es absolutamente convergente y puede ser muy aproximado de lo (aviso que $0\le \{x\} \lt 1$)

$$|i_2| = |\int_{1}^{n} \{x\} c'(x)\,dx| <= \int_{1}^{n}| \{x\} c'(x)|\,dx \\ <= \int_{1}^{n} |\{x\}| |c'(x)|\,dx <=\int_{1}^{n} | c'(x) | \,dx$$

Ahora

$$| c'(x) | = |\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)}{x^2}+\frac{\sin \left(\sqrt{x}\right)}{2 x^{3/2}}| \\ \leq | \frac{\sin \left(\sqrt{x}\right)}{2 x^{3/2}}| +|\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)}{x^2}| \leq \frac{1}{2 x^{3/2}}+\frac{1}{x^2}$$

Por lo tanto

$$| i_2| <=\int_1^n \left(\frac{1}{2 x^{3/2}}+\frac{1}{x^2}\right) \, dx = 2-\frac{\sqrt{n}+1}{n}\tag{*}$$

Desde $\lim_{n\to \infty } \, \text{Ci}\left(\sqrt{n}\right)= 0$ el límite de la suma parcial es dada por

$$s = \cos(1) - 2 \text{Ci}(1) + \lim_{n\to \infty } \,i_2$$

La observación (*) $s$ sigue siendo finito como $n\to\infty$ por lo tanto la suma original es convergente. QED.

Comentario

Un más sofisticado estudio si la integral de la $i_2$ podría proveer una mejor numérico límites, e incluso una forma cerrada.