Serie de Fourier de $\sin(x)$

Question

Sé que esta serie ha sido calculada aquí por más de una vez pero necesito ayuda con una cosa específica. Definimos $f$ como una función par con periodo $2 \pi$ por $f(x)=\sin (x) $ donde $0 \leq x\leq \pi$ .

Encuentre $S^f$ de $f$ : la función es par, por lo que $b_n=0$ . así que tenemos que encontrar $$a_n=\int_{-\pi}^{\pi}(1/\pi)\sin(x)\cos(nx)dx$$ o $$a_n={2\over\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(2n x)\ dx={2\over\pi}\int_0^\pi \sin x\cos(2n x)\ dx\ .$$ Encontré que $a_n$ es simplemente $$a_n=\left\{\begin{matrix} 0, n \text{ is odd} \\ -\frac{4}{\pi(n^2-1)}, & n \text{ is even} \end{matrix}\right.$$ ¿Cómo puedo llegar a esta respuesta? $$S^f =2/\pi+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{-4}{\pi(4m^2-1)}\cos(2mx)$$ Por qué ha cambiado a $m$ y cuál es el procedimiento que debe seguirse cuando se trabaja con impar e incluso $n$ s? Muchas gracias.

Answer 1

El cambio a $m$ s pretende reflejar el hecho de que el $a_n$ son distintos de cero sólo para los pares $n$ por lo que dejamos que $n = 2m$ . En general, si se quiere crear un nuevo índice que represente a todos los enteros de impar, se utiliza $m = 2n + 1$ y, para los enteros pares, utilizamos $m = 2n$ . En lugar de utilizar la definición por partes de $a_n$ Ahora tenemos que $$a_{2m} = - \frac{4}{\pi((2m)^2 -1)} = - \frac{4}{\pi(4m^2 -1)} $$ y $a_{(2m+1)} = 0$ para cada número entero positivo $m$ .

También hay que tener en cuenta que $a_0 = \frac{4}{\pi}$ en lugar de $0$ , como $$a_0 = \frac{2}{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x) \cos(2(0)(x)) dx = \frac{2}{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x) dx = \frac{2}{\pi} \left( - \cos(x) |_0^{\pi} \right) \Longrightarrow a_0 = \frac{4}{\pi}$$ que concuerda con lo que se obtiene al enchufar $0$ en la fórmula general de $a_n$ .

Combinando todo esto, obtenemos que la serie del coseno de Fourier de $\sin(x)$ es \begin{align*} \sin(x) &= \frac{4}{\pi} + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nx) dx \\ &= \frac{4}{\pi} + \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} a_{(2m+1)} \cos((2m+1)x) + \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} a_{2m} \cos(2mx) \end{align*}

Introduciendo los valores de $a_{2m}$ y $a_{(2m+1)}$ escrito arriba, vemos que $$\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} a_{(2m+1)} \cos((2m+1)x) = 0$$ y podemos concluir que $$\sin(x) = \frac{4}{\pi} + \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \frac{-4}{\pi(4m^2 -1)} \cos(2mx)$$