Sea $X$ sea un espacio topológico y $x \in X$ sea tal que $\{x\}$ está cerrado en $X$ . Sea $y \in \mathbb{R}^n$ . He leído que $$ H_k(\mathbb{R}^n \times X, (\mathbb{R}^n \times X) - \{(y,x)\}) \cong H_{k - n}(X,X - \{x\}). $$ para cada $k$ . No tengo ni idea de cómo probarlo. ¿Alguien puede ayudarme?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user103697
Puntos
390
En primer lugar permítanme decir que realmente no soy un experto en topología algebraica, sólo porque todavía no había una respuesta hasta ahora pensé que podría ser útil para dar mi sugerencia para una prueba de todos modos: Supongamos primero $X$ es un complejo CW. Además supongo que te refieres a coeficientes reales (aunque esto no importa demasiado para lo que sigue).
-
De, por ejemplo, el libro de Hatchers "Algebraic Topology", sección 3.B, sabemos que existe una secuencia exacta de homologías relativas, donde ponemos $A:=X\setminus\{x\}$ y $B:=\mathbb{R}^n\setminus \{y\}$ : $$\tag{1}0\rightarrow\oplus_i(H_i(X,A)\otimes_{\mathbb{R}}H_{k-i}(\mathbb{R}^n,B))\overset{(*)}{\rightarrow }H_k(X\times\mathbb{R}^n,A\times \mathbb{R}^n\cup X\times B)\rightarrow\oplus_i\mathrm{Tor}_{\mathbb{R}}(H_i(X,A),H_{k-i-1}(\mathbb{R}^n,B))\rightarrow 0 $$
-
Ahora, utilizamos la secuencia homológica exacta larga (cf. sección 2.1 del libro de Hatchers) $$\ldots\rightarrow H_i(B)\rightarrow H_i(\mathbb{R}^n)\rightarrow H_i(\mathbb{R}^n,B)\rightarrow H_{i-1}(B)\rightarrow\ldots$$ para demostrar que $H_i(\mathbb{R}^n,B)$ est $\mathbb{R}$ si $i=n$ y $0$ si no (donde usamos el hecho de que los grupos homológicos son invariantes bajo homotopía y $\mathbb{R}^n$ es homotópico a un punto, $B=\mathbb{R}^n\setminus\{y\}$ es homotópica a una esfera $S^{n-1}$ ). En particular, el término Tor en la secuencia exacta (1) se desvanece, es decir, el morfismo ( $*$ ) es un isomorfismo, y la suma directa del primer factor colapsa a $H_{k-n}(X,A)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}\simeq H_{k-n}(X,A)$ .
-
Observando que $A\times\mathbb{R}^n\cup X\times B=X\times \mathbb{R}^n\setminus(\{x\}\times\{y\})$ termina la prueba.
Para deshacerse de la suposición de que $X$ es un complejo CW puede que quieras leer el párrafo del libro de Hatchers sobre aproximación CW (en la sección 4.1), pero realmente no sé nada de esto, sólo tengo la vaga idea de que podría ayudar (lo siento si no es así)...
