Observas una muestra de medidas procedentes de una regla de longitud fija. Si el objeto es más corto que la regla, observas la medida real. En caso contrario, observas la longitud de la regla. ¿Cuál sería un buen estimador de la longitud de la regla
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
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Si el valor máximo observado ocurre repetidamente, y la probabilidad de que dos cosas medidas tengan exactamente la misma longitud es $0,$ entonces ese número máximo observado es probablemente la longitud de la regla.
Pero si todas las mediciones son distintas, entonces la longitud de la regla es probablemente estrictamente más larga que el máximo observado, aunque es posible que el máximo observado sea una medición de un objeto al menos tan largo como la regla. Si el número de objetos medidos es grande, de modo que las mediciones distintas ordenadas de forma creciente están próximas entre sí, entonces el máximo probablemente no sea mucho más largo que la longitud de la regla.
Posiblemente una buena respuesta a esto depende de la distribución de probabilidad de las longitudes de los objetos medidos. Supongamos que un histograma de las longitudes de los objetos medidos hasta el momento se parece al de una distribución normal con valor esperado $8$ y la desviación estándar $1,$ excepto que se trunca en el $70$ ¿el percentil de la distribución? Supongamos además que el número de mediciones es $38.$ Entonces probablemente sobre $11$ o $12$ las mediciones serían exactamente el máximo, y eso sería una buena estimación.
Supongamos que los números se distribuyen uniformemente entre $0$ y algún número desconocido $\theta.$ Si $\theta$ fuera menor que la longitud de la regla, se estaría estimando el límite superior de una distribución uniforme, y una estimación insesgada de la misma es el valor máximo observado multiplicado por $(n+1)/n,$ donde $n$ es el número de observaciones. En ese caso, se podría decir que la longitud de la regla es probablemente al menos tan grande como esa estimación, pero no se puede descartar que sea más que eso. Por otro lado, supongamos que $\theta$ es más que la longitud de la regla, y se ve $10$ observaciones menos que la observación máxima y $5$ que son exactamente iguales al máximo. Supongamos además que esos $10$ se distribuyen aproximadamente de manera uniforme entre $0$ y el valor máximo observado. Entonces sería razonable estimar $\theta$ para ser sobre $15/10$ del valor máximo observado, pero la longitud de la regla debe estimarse entonces como el valor máximo observado que se vio $5$ tiempos.
