En una vieja pregunta aquí, en MSE he pedido el plazo para la "cortar" el de una potencia de la serie en parciales de la serie y hemos aprendido que es "multihilo". He estado buscando en el comportamiento de la triple-multihilo de la exponencial de la serie $$ \begin{eqnarray} g_0(x) &=& \sum_{k=0}^\infty {x^{3k} \over (3k)!} \\ g_1(x) &=& \sum_{k=0}^\infty {x^{3k+1} \over (3k+1)!} \\ g_2(x) &=& \sum_{k=0}^\infty {x^{3k+2} \over (3k+2)!} \\ \end{eqnarray} \\ g_0(x)+g_1(x)+g_2(x) = \exp(x) $$
He entrado en mi antiguo ejercicios con este y esta vez quiero trabajar con los inversos de que funciona. Sé que mientras tanto cómo invertir una potencia de serie sin necesidad de constante pero con el término lineal y a veces puede invertir otros powerseries el uso de la recentering alrededor de uno de sus fixpoints. Pero no veo cómo esto puede ser hecho por $g_0(x)$$g_2(x)$ . Un muy buen ejemplo para la inversión de este tipo de series es que para la inversa de la $\cosh()$ función: $\cosh^{[-1]}(x)$ Su powerseries aparece como muy suave y agradable y no tengo idea de cómo pudo haber sido. Así que mi pregunta es, principalmente,
- r: para el método: ¿cómo desarrollar la inversa de una powerseries (con término constante, aquí teniendo la unidad como valor, o sin constante y sin término lineal como en $g_2(0)$)
- b: pero, por supuesto, también simplemente para la solución de $g_0(x)$ $g_2(x)$ si los métodos que se necesitan más de lo que puedo hacer yo mismo.
Si tengo un punto de vista en un artículo en el internet correctamente una posible solución podría haber utilizado el hecho de que para el cos y el pecado-función de la periodicidad $\cos(x) = \sin(\pi/2 + x)$ (al menos más de los reales), entonces la inversa de la $\cos()$ tomadas por la inversa de la powerseries de $\sin(x)$ y luego se desplazó a la conversión de argumentos entre el $\cosh(x)=\cos(i x)$, pero todavía no estoy seguro acerca de esto, y tiene que examinar la argumentación paso-por-paso. De todos modos, esto todavía no se ayuda para mi problema en cuestión, ya que todavía no hemos transferencia la función de los argumentos de la $g_0(x)$ e las $g_1(x)$-función.
Si esto de alguna ayuda, no es una representación en términos de la exponencial de la función de sí mismo:
$ \displaystyle \text{ vamos a }= - \frac12 \text{ y } b= {\sqrt3 \over 2} \text{ tales que sobre el complejo } z=a+b \mathcal i \text { y } z^3 = 1 \text{ entonces } \\ \begin{eqnarray} \qquad \qquad g_0(x) &=& { 1\over 3} \big( e^x +2e^{ax} \cos(bx) \big) \\ \qquad \qquad g_1(x) &=& { 1\over 3} \big( e^x +2e^{ax}\big( a\cos(bx)+b\sin(bx) \big) \big) \\ \qquad \qquad g_2(x) &=& { 1\over 3} \big( e^x +2e^{ax}\big( a\cos(bx)-b\sin(bx) \big) \big) \\ \end{eqnarray}$
y también tenemos la circular relaciones de derivados:
$ \qquad \qquad g_0'(x)=g_2(x) \qquad g_1'(x)=g_0(x) \qquad g_2'(x) = g_1(x) $ .
Aquí está una foto de $g_{0}(x)$ sobre los reales:
La imagen muestra ya que como con el $\cos^{[-1]}(x)$ $\cosh^{[-1]}(x)$ vamos a tener muy rangos limitados para la inversión debido a su multivaluedness y singularidades en sus derivados.
