Definición de «simplicial complejo»

Question

Cuando pienso en un "simplicial complejo", creo que de la realización geométrica de un conjunto simplicial (un objeto simplicial en la categoría de conjuntos). Me voy a referir a esto como "la primera definición".

Sin embargo, hay otra definición de "simplicial complejo", por ejemplo, el uno en la wikipedia: es una colección de $K$ de simplices tal que cualquier cara de cualquier simplex en $K$ es también en $K$, y la intersección de dos simplices de $K$ es una cara de los dos simplices. También existe la noción de "resumen simplicial complejo", que es una colección de subconjuntos de $\{ 1, \dots, n \}$, que es cerrado bajo la operación de la toma de subconjuntos. Estos tipos de simplicial complejos también tienen su correspondiente geométricas realizaciones, como espacios topológicos. Me referiré a ambas de estas definiciones como "la segunda definición".

La segunda definición parece razonable a primera vista, pero, a continuación, ejecutar rápidamente en algunas cosas horribles, como el hecho de que la triangulación incluso algo tan simple como un toro requiere algo de ridículo número de simplices (más de 20?). Por otro lado, puede triangular el toro mucho más razonable el uso de la primera definición (o, alternativamente, utilizando la definición de "Delta" complejo de Hatcher topología algebraica libro, pero esto no es demasiado lejos de la primera definición de todos modos).

Yo creo que se puede avanzar y retroceder entre las dos definiciones, sin mucho problema. (Yo creo que se puede ir de la primera a la segunda haciendo algunas baricéntrico subdivisiones, y que va desde la segunda a la primera es trivial.)

Debido al hecho de que la segunda definición es la que aparece en la wikipedia, me da la impresión de que la gente todavía utiliza esta definición. Mis preguntas son:

1. La gente sigue usando la segunda definición? Si es así, en qué contextos, y por qué?

2. ¿Cuáles son las ventajas de la segunda definición?

Answer 1

Simplicial conjuntos y simplicial complejos se encuentran en los dos extremos de un espectro, con Delta complejos, que fueron inventados por Eilenberg y Zilber bajo el nombre de "semi-simplicial complejos", agazapado en algún lugar en el medio. Simplicial conjuntos son mucho más general que simplicial complejos y tienen la gran ventaja de permitir que los cocientes y productos a ser formado sin la necesidad de subdivisión, como se requiere para simplicial complejos. De esta manera simplicial conjuntos son como CW complejos, sólo más de combinatoria o categóricas. El precio a pagar por esto es que simplicial conjuntos son quizá menos geométrica, o al menos no tan bien geométricas como simplicial complejos. Así que la elección de cuál utilizar depende en parte de cómo geométrica es el contexto. En algunas zonas simplicial conjuntos son mucho más natural y útil que simplicial complejos, en otros ocurre lo contrario. Si uno dibujó un diagrama de Venn de la gente que usa uno o el otro de la estructura, la intersección puede ser muy pequeño.

Delta complejos, siendo algo de un compromiso, que tiene algunas de las ventajas y desventajas de cada uno de los otros dos tipos de estructura. Cuando escribí mi topología algebraica libro tuve la sensación de que Delta complejos en gran medida había sido olvidado con el paso de los años, así que quería volver a hacerlos públicos, tanto como una herramienta pedagógica en introductorio de la topología algebraica de los cursos y como una especie de estructura que surge naturalmente en muchos contextos. Por ejemplo, la clasificación de espacio de una categoría es el Delta del complejo.

Por cierto, he añadido 5 páginas al final del Apéndice en la versión en línea de mi libro va a un poco más de detalle acerca de estos diversos tipos de simplicial estructuras. (Tengo una deuda de agradecimiento a Greg Kuperberg para explicar algunas de estas cosas a mí hace un par de años.)

Answer 2

La mayoría de las respuestas anteriores parecen lidiar con las diferencias entre simplicial conjuntos y simplicial complejos, y las ventajas o desventajas de cada uno. Parte de la pregunta original era: ¿la gente sigue usando simplicial complejos, y si es así, entonces ¿por qué? Me gustaría echar en una respuesta corta aquí.

Personas que sin duda se siguen utilizando resumen simplicial complejos (la "segunda definición" en la pregunta). De baja dimensionalidad topología está lleno de útiles simplicial complejos. Por ejemplo, uno de los más importantes objetos en el estudio de la asignación de los grupos de la clase y de los módulos de los espacios de curvas es Harvey de la curva de complejo. Fijar a una superficie. El conjunto de vértices es el conjunto de clases de isotopía de (perdidos) curvas cerradas simples en la superficie que no vinculado discos. Una colección de vértices $v_0, \ldots, v_n$ de n+1 distintos vértices se extiende por un n-simplex si admiten representantes que son de a pares distintos. Por supuesto, si usted está interesado sólo en la homotopy tipo de este complejo, entonces usted puede trabajar con el nervio de la poset de colecciones de curvas. Pero para muchos de los argumentos, es más fácil/más claro para trabajar con este simplicial complejo y estudio de la asignación de la clase del grupo de acción sobre él. Pasando a los nervios de la poset de simplices es sólo una subdivisión, y si usted ya tiene una perfectamente buena objeto de estudio, qué reemplazarlo con algo que tiene muchas más simplices para que te preocupes.

Hay un montón de otros objetos en bajas dimensiones y topología combinatoria que son naturalmente nos da como simplicial complejos en lugar de simplicial conjuntos. Módulos de espacios de gráficos y cosas como Culler-Vogtmann Espacio Exterior se (subconjuntos) de las realizaciones de simplicial complejos, mientras que la columna vertebral del espacio exterior, es la realización de un conjunto simplicial. Realmente es útil trabajar con ambos. Por ejemplo, si usted quiere saber acerca de la VCD del exterior automorphism grupos de libre grupos luego de trabajar con el conjunto simplicial que da a la columna vertebral. Pero la prueba de que $(F_n)$ es un virtual dualidad grupo fundamentalmente los usos del espacio exterior en lugar de su columna vertebral.

Supongo que la moraleja es que, desde una perspectiva puramente homotopical punto de vista, simplicial complejos y simplicial conjuntos son equivalentes aproximadamente, aunque como Allen señala en su respuesta, muchas construcciones son más fáciles con simplicial conjuntos. Sin embargo, no todo el problema es sólo acerca de los homotopy teoría. A veces, la geometría de la materia, y en estas situaciones simplicial complejos a menudo tienen la ventaja de ser mucho más pequeña y cercana a la geometría que define el complejo, en primer lugar.

Answer 3

Muchas gracias a Allen a su vez por su generosa de citación a mí. Lo que he tenido que decir que es bastante estándar, pero no creo que yo nunca seré capaz de escribir un libro como Hatcher Topología Algebraica. Aquí hay un enlace a la apéndice que Allen escribió.

Aquí está la situación en pocas palabras. Un conjunto simplicial tiene un pequeño realización. Es un CW complejo hecho de no degenerada simplices del conjunto simplicial. El simplices puede ser pegado a sí mismos o a multiplicar pegados el uno al otro. Sin embargo, el conjunto simplicial estructura también implica que las esquinas de cada simplex son consistentemente local ordenado, y esto no es posible con un arbitrario de encolado. La coherencia local de pedido es útil para una variedad de propósitos. La primera vez que realmente te importa es que te da un canónica de la copa del producto en el nivel de simplicial cadenas.

Geométricas topologists, especialmente 3-colector de topologists, ampliamente utilizar exactamente esta estructura, excepto sin la consecuente ordenamiento local. Esto se llama una generalizada de la triangulación, y se puede expresar en la misma forma como un conjunto simplicial. En lugar de utilizar el simplex categoría, cuyos morfismos son el fin de la preservación de los mapas entre ordenó finito de conjuntos, el uso de la simetría del simplex categoría, cuyos morfismos son todos los mapas entre todos los conjuntos finitos. El pequeño realización de un simétrica conjunto simplicial es exactamente un generalizada de la triangulación, si la simetría del conjunto simplicial cumple cierta condición de libertad. El grupo simétrico $S_n$ actúa sobre el conjunto de formal $n$-simplices, y la condición es que la acción en la no-degenerada, uno debe ser libre. Simétrica simplicial conjuntos aparecen en un simple puñado de papeles en la literatura.

Cada generalizada de la triangulación constantemente localmente ordenado de vértices es representado por un único conjunto simplicial. Este es armonioso a la vista de simplicial conjuntos de hacer tanto geométricos y algebraicos topologists feliz. El único problema es que no se bien generalizar a otros simplicial objetos, debido a la no-degenerada simplices no son buenas, por ejemplo, en un simplicial grupo.

Simplicial conjuntos son muy útiles para algebraicas topologists. Generalizada las triangulaciones son muy útiles para geométricas topologists. Simplicial complejos son útiles para combinatorialists: son hypergraphs con un cierre de la propiedad. Simplicial complejos no son tan útiles como natural generalizaciones a algebraica o geométrica topologists: simplicial establece si el fin de la orden de los vértices; o de la generalización de las triangulaciones si no el fin de los vértices. Es cierto que determinadas construcciones de simplicial conjunto o de la generalización de las triangulaciones son automáticamente simplicial complejos. Por ejemplo, el conjunto simplicial de un poset es automáticamente que (como Charles Rezk dice), o la segunda subdivisión baricéntrica de cualquier tipo de CW complejo que tiene una subdivisión baricéntrica. (Porque la primera subdivisión baricéntrica es automáticamente un conjunto simplicial con los colores de los vértices.)

Answer 4

Usted necesita tener cuidado aquí. La realización geométrica de un conjunto simplicial puede no ser el geométrica realización de simplicial complejo de la manera obvia: por ejemplo, la realización geométrica de $\Delta[2]/\partial\Delta[2]$ es la unión de un punto y un abra $2$-simplex. Este no es un complejo simplicial en el sentido de su primera definición: el cierre de el abra $2$-simplex no es un cerrado $2$-simplex. Por supuesto, usted puede producir una subdivisión que es un simplicial complejo, pero no estoy seguro de que la subdivisión baricéntrica trabaja aquí.

Simplicial complejos se inventó mucho antes de simplicial conjuntos (yo creo que fueron introducidas por Poincaré). Simplical complejos son difíciles si usted está interesado en homotopy teoría, incluyendo algunas de las razones que usted menciona. Sin embargo, la gente piensa acerca de ellos:

* Es una clásica pregunta de si se puede triangular de un colector, es decir, demostrar que es homeomórficos a un (buen) simplicial complejo. Esta pregunta tiene una sutil respuesta (véase Kirby-Siebenmann invariantes), y conduce a la noción de "piecewise linear múltiple", que es un manejable clase de colectores continua entre los colectores y suave de los colectores.

* Simplicial complejos se muestran en todo el lugar, en la combinatoria, por ejemplo, en el orden complejo de un poset.

Answer 5

Yo uso la segunda definición. Realmente no entiendo la primera definición, se Puede escribir en términos concretos? (Hatcher objeto es agradable y permitir más "económico" triangulaciones.) Es correcto que usted necesita a veces muchos simplices para la triangulación (pero sólo el 7 por el toro). Pero el original simplicial complejo de definiciones tiene varias ventajas. De manera abstracta simplicial complejos son sólo hereditario colección de conjuntos. Es decir, la colección de conjuntos cerrados en tomar subconjuntos. Estos son muy básicos de la combinatoria de los objetos que aparecen por todo el lugar.