Probar una combinación lineal de producto tensorial no se puede escribir como un producto tensorial único

Question

Demostrar que en $\mathbb{C}^{3}\otimes\mathbb{C}^{3}$, el estado de vectores $$\mathbf{h}=\frac{1}{\sqrt{8}}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{1}\otimes e_{2}+e_{2}\otimes e_{1}+e_{1}\otimes e_{3}+e_{3}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{3}+e_{3}\otimes e_{2}$$

no se puede escribir en la forma $h_{1}\otimes h_{2}.$

========= Mi prueba es el siguiente:

Sin pérdida de generalidad, vamos a $e_{1}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right), e_{3}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),$

entonces $e_{1}\otimes e_{1}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{2}\otimes e_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{1}\otimes e_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),$ $e_{2}\otimes e_{1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{1}\otimes e_{3}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{3}\otimes e_{1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right), e_{2}\otimes e_{3}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), $

$e_{3}\otimes e_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right), $ and $\mathbf{h=\frac{1}{\sqrt{8}}}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Y, finalmente, vamos a obtener algunas contradicción. Pero este método puede ser realmente aplicadas "sin pérdida de generalidad"? ¿Cuál es la manera de hacer esto sin necesidad de escribir todos estos grandes vectores?

Answer 1

Considere${\mathbb C}^3 \otimes {\mathbb C}^3$ como correspondiente a$3 \times 3$ matrices con entradas complejas. $u \otimes v$ corresponde a la matriz$u v^T$, que tiene el rango 1 (si$u$ y$v$ son vectores de columna distintos de cero). Entonces, ¿cuál es el rango de la matriz correspondiente a$\bf h$?