¿Cuándo ocurre la siguiente división compleja?

Question

Así que tengo que pensar acerca de los números complejos y de cómo surgieron y algo muy interesante, se me ocurrió:

la formación de los números complejos se produce porque existe una función (es decir,$f(x)=x^2$) que los mapas reales a un pequeño subconjunto de los reales y por lo tanto el ajuste de la ecuación de $x^2 = p$$\{x\in\Bbb R:x\not\in f(\Bbb R)\}$. Estamos obligados a crear un nuevo mathemtical valor, $i$ a manejar la ecuación.

No podía esta extensión se producen en otros lugares? Por ejemplo, decir que existe alguna función $f_{\Bbb C}$ que asigna los números complejos a un pequeño subconjunto de los números complejos, a continuación, la expresión

$f_{\Bbb C}(x) = j$ $\{z\in\Bbb C:z\not\in f_{\Bbb C}(\Bbb C)\}$

se requiere la creación de una nueva constante matemática.

Es esto posible? Ha sucedido alguna vez? Esto difiere en gran medida de cuaterniones y otras herramientas que se consideran extensiones del plano complejo. La mayoría de la idea básica de la que viene a la mente es la función valor absoluto.

La ecuación: $|x| = c$ donde $c$ no es un número real positivo o $0$, pero es un miembro del plano complejo.

Usted obtener números de $p$, de tal manera que $|p| = -1$, e $t$ tal que $|t| = i$. De allí la expresión $p\cdot t$ sería tal que $|p\cdot t| = -i$. Luego de todo un álgebra de estos pueden ser construidos.

Pero la única razón por la que no estoy satisfecho con esta respuesta es porque los números Complejos fueron, naturalmente, desarrollado a partir de la básica hyperoperators (adición -- multiplicación-poderes (produce números complejos) --> tetration ---> pentation etc...) hay algunos hyperoperator abajo de la línea que va a producir el próximo número complejo?

Answer 1

Hay algunas cosas que vienen a la mente cuando haces esta pregunta. Un ejemplo sería la Esfera de Riemann - básicamente, usted tiene el complejo de avión $\mathbb{C}$, y de un modo muy natural que funcione como $f(z) = \frac{1}{z}$, y usted tiene dos problemas básicos:

1. $f(z)$ nunca $0$.
2. $f(0)$ es indefinido.

Para agregar el punto de $\infty$ a su avión y definir el nuevo avión de la topología de una manera que permite a $f(z)$ ser definido en todas partes.

Sin embargo, al hacerlo, se pierde la hermosa propiedades algebraicas de la $\mathbb{C}$, como esto no es aún un campo más. De hecho, debido a $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado de campo, no tiene extensiones finitas, lo que significa que si usted desea extender $\mathbb{C}$ y aún así obtener un campo, usted tendrá que añadir un número infinito de elementos independientes - y que no sería "bastante", de la misma manera que $\mathbb{R}$ no es una "bonita" la extensión de $\mathbb{Q}$ - añade innumerables muchas de las constantes, la mayoría de los cuales no tienen una buena representación.

Otras funciones han complicado aún más y más extrañas de las superficies de Riemann , que les permitan hacer más sentido que en el estándar del plano complejo, pero todos estos son geométrico de la naturaleza y de la falta de la belleza de la extensión algebraica de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$

Answer 2

En primer lugar tenemos el teorema fundamental del álgebra, que dice que las raíces de funciones polinómicas con coeficientes complejos se encuentran en el campo de los números complejos.

Usted está dando a entender que los números enteros son necesarios para resolver

$x+a=b$ $a>b$ son números naturales.

Las fracciones son necesarios para resolver

$ax=b$ donde$a,\,b\in\mathbb{N}$$a\neq 0$.

Los números reales son necesarios para resolver

$x^2=a$ $a\in\mathbb{N}$

etc.

Mi respuesta a tu pregunta es que no se caso omiso de los cuaterniones tan fácilmente: la que puede ser considerada como necesaria para resolver una ecuación de la forma:

$xy-yx=a$

donde $a\neq 0$.

Answer 3

Picard del teorema establece que cualquier función en $ \mathbb{C}$, que omite más de 1 puntos es en realidad constante. es decir, el rango de la función es 1 punto (función constante), el rango omite precisamente un punto (por ejemplo: $ x \rightarrow e^x$ nunca $ 0$), o tiene como rango de todos los números complejos (ejemplos: todos los polinomios, $ \sin$$ \cos$, etc.)

así, en su construcción, tendríamos terminan con (generalizaciones) de cuaterniones, como álgebras de Clifford o de orden superior análogos, o tendríamos que empezar con un no-holomorphic función (como se hizo con la función valor absoluto). De todos modos, si la demanda de que se trata de un campo, y contiene los reales de alguna manera, que acabaría con los reales, los números complejos, los cuaterniones, o la octonions, debido a Hurwitz del teorema, es decir, que podemos terminar con algo en el que no podemos dividir, o algo ya conocido.