Cardinalidad del conjunto de funciones reales en aumento.

Question

¿Podría mostrarme cómo "calcular" la cardinalidad del conjunto de funciones crecientes (no necesariamente estrictamente)$\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$?

Answer 1

Sólo hay $|\Bbb R|=2^\omega$ tales funciones.

Deje $\varphi:\Bbb Q\to\Bbb R$ ser no decreciente. Sólo hay $|\Bbb R|^{|\Bbb Q|}=\left(2^\omega\right)^\omega=2^\omega$ funciones de$\Bbb Q$$\Bbb R$, y es fácil ver que hay, al menos, $|\Bbb R|=2^\omega$que no están disminuyendo, por lo que hay $2^\omega$ funciones $\varphi$. Si $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es no decreciente, a continuación, $f\upharpoonright\Bbb Q$ es uno de estos $2^\omega$ funciones, por lo que nos gustaría saber ¿cuántos no la disminución de las funciones de $\Bbb R$ $\Bbb R$restringir a un dado no decreciente $\varphi:\Bbb Q\to\Bbb R$.

Deje $\varphi:\Bbb Q\to\Bbb R$ ser no decreciente, y supongamos que $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es no decreciente y restringe a$\varphi$$\Bbb Q$. Para cada uno de los irracionales $x$ vamos

$$\varphi^-(x)=\sup_{q\in\Bbb Q\cap(\leftarrow,x)}\varphi(q)$$

y

$$\varphi^+(x)=\inf_{q\in\Bbb Q\cap(x,\to)}\varphi(q)\;;$$

a continuación,$\varphi^-(x)\le f(x)\le \varphi^+(x)$. Si $\varphi^-(x)=\varphi^+(x)$, entonces sólo hay una forma de definir a $f(x)$. De lo contrario, no se $\left|\big[\varphi^-(x),\varphi^+(x)\big]\right|=2^\omega$ opciones para $f(x)$.

Vamos $$C=\left\{x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q:\big(\varphi^-(x),\varphi^+(x)\big)\ne\varnothing\right\}\;;$$ the intervals $\big(\varphi^-(x),\varphi^+(x)\big)$ for $x\in C$ are pairwise disjoint, so there are at most countably many of them. Thus, $f(x)$ is completely determined by $\varphi$ except on the countable set $C$, and for each $x\in C$ there are $2^\omega$ possible values for $f(x)$, so there are at most $\left(2^\omega\right)^\omega=2^\omega$ possible non-decreasing functions $f:\Bbb R\a\Bbb R$ such that $f\upharpoonright\Bbb Q=\varphi$.

Poner las piezas juntas, vemos que hay en la mayoría de las $2^\omega\cdot2^\omega=2^\omega$ no decreciente funciones de $f:\Bbb R\to\Bbb R$, y la constante de las funciones que ya muestran que hay, al menos, que muchos.