Espacios topológicos conectados e irreducibles.

Question

Un espacio topológico es llamado conectado si cualquier presentación de la $X$ $X = V_1 \uplus V_2$ por distintos subconjuntos abiertos implica que uno de ellos es trivial ($V_1 = X$ o $V_2 = X$). Tomando complementar nadie puede reemplazar a la palabra "abierto" por "cerrar".

Un espacio topológico se llama irreducible si cualquier presentación de la $X$ $X = X_1 \cup X_2$ por dos subconjuntos cerrados implica que uno de ellos es trivial ($X_1 = X$ o $X_2 = X$).

Claramente cada irreductible espacio está conectado. Lo contrario no siempre es cierto, pero:

La proposición: Deje $X$ ser conectado a un espacio topológico que tiene un cubrimiento por irreducible subespacios. A continuación, $X$ es irreductible.

Yo quiero probar esta proposición.

Answer 1

PISTA: Es fácil comprobar que un espacio de $X$ es irreducible si y sólo si $U\cap V\ne\varnothing$ siempre $U$ $V$ son no vacía de subconjuntos abiertos de $X$. Deje $X$ estar conectado, y deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$ por irreducible subespacios. Supongamos que $V$ $W$ son distintos subconjuntos abiertos de $X$; usted quiere demostrar que uno de ellos está vacío.

• Mostrar que cada una de las $U\in\mathscr{U}$ se cruza en la mayoría de los una de $V$$W$.

Vamos

$$\begin{align*} &\mathscr{U}_V=\{U\in\mathscr{U}:U\cap V\ne\varnothing\}\;,\\ &\mathscr{U}_W=\{U\in\mathscr{U}:U\cap W\ne\varnothing\}\;,\text{ and}\\ &\mathscr{U}_0=\mathscr{U}\setminus(\mathscr{U}_V\cup\mathscr{U}_W)\;. \end{align*}$$

Considerar el abrir de los conjuntos de $\bigcup\mathscr{U}_V,\bigcup\mathscr{U}_W$, e $\bigcup\mathscr{U}_0$, teniendo en cuenta que $X$ está conectado.