Demuestre$g^2 = e$ si hay un subgrupo de índice 2 que no contiene$g$ por cada$g \in G$.

Question

Estoy teniendo algunos problemas con esta pregunta de un examen de práctica.

Deje $G$ ser finito grupo. Supongamos que para cada $g \in G$ más que la identidad del elemento $e$, hay un subgrupo de $H \subset G$ de índice de $2$ que no contenga $g$.

Mostrar que $g^2 = e$ todos los $g \in G$.

Mi intento:

Supongamos $g \in G$. Si $g = e$, obviamente $g^2 = e$, por lo que podemos suponer $g \not= e$. Deje $H$ ser el subgrupo tal que $|G:H| = 2$$g \not\in H$, que existe por supuesto. Desde la izquierda cosets y derecho cosets partición $G$, debemos tener $gH = Hg$, lo $H$ es normal.

Desde $g^2 \not\in gH$. $g^2H$ y $gH$ son dos distintas cosets y partición de $G$, e $g^2H = H$. Por lo tanto, $H = gHg$. ¿Esto implica que $g = g^{-1}$? Yo no lo creo, pero se parece un poco a la conjugación, así que tal vez hay un teorema que yo no sé acerca de.

O debería seguir un enfoque diferente?

Answer 1

¿Esto funciona? Puede que lo haya resuelto yo mismo.

Dado que tal subgrupo existe para cada$g \in G$, tal que$g \not= e$. Supongamos que para una contradicción$g^2 \not= e$. Deje que$K$ sea el subgrupo tal que$[G:K] = 2$ y$g^2 \not\in K$. $g \not\in K$, ya sea porque eso implicaría que$g^2 \in K$. Por lo tanto,$K$ y$gK$ partición$G$. $K$ y$g^2K$ también particionan$G$. Entonces,$gK = g^2K \Leftrightarrow g \in K$, que es una contradicción. Por lo tanto,$g^2 = e$ debe ser verdadero.