Mi maestro me pidió que probara que$7<e^2<8$ usando solo métodos algebraicos y sabiendo que$2<e<3$.
No sé cómo hacer esto, por dónde empezar, pero supongo que necesitaría algún tipo de función donde:$f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ para explotar la monotonicidad de$f'$. ¿Alguna pista?
El uso de la (convergente) de la serie de $$e^x=1+ x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots.$$
Para $x=2$, todos los términos son positivos y para obtener el límite inferior de tomar la suma parcial el uso de los primeros 5 términos, $1+ 2+ \frac42 + \frac86 +\frac{16}{24}=7$. Por lo $e^2>7$.
Ahora mira a la omitido (infinito) de cola, a partir de $\frac{32}{120}$. Es término sabio acotada arriba por la serie geométrica con relación $\frac12$, y en primer término $\frac{32}{120}$.
Usando la fórmula de $\frac{a}{1-r}$ para la suma de una infinita serie geométrica con primer término a $a$ y la razón común $r$ llegamos la cola se suma a estar acotada arriba por $\frac{32}{120}\big/\frac12= \frac{64}{120}<1$.
Así que para la serie completa para $e^2$, dividir la suma de la cabeza y la cola es $e^2< 7+1$.
No es posible.
Como no se le permite usar ninguna propiedad especial de e, para todos los propósitos prácticos, puede reemplazarla con la variable x en la desigualdad y tratar la desigualdad como 2
Esto significa que x = 2.1 es un caso válido. Pero$x^2=4.41$ que es menos de 7.
Entonces, dada solo esta propiedad sobre e, no podemos probar 7
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
