Probabilidad de que A gane al mejor de 7 (4 partidos)

Question

$A$ y $B$ jugar una serie de best of $4$ . La probabilidad de que $A$ gana una partida determinada es $p$ . Supongamos que los juegos son independientes entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que $A$ ¿Gana?

Sea $A_{i}$ sea el acontecimiento que $A$ gana la serie en $i$ partidos. Entonces, el libro dice, $$P(A) = P(A_{4}) + P(A_{5}) + P(A_{6}) + P(A_{7}) = p^{4} + \binom{4}{3}p^{4}q + \binom{5}{3}p^{4}q^{2} + \binom{6}{3}p^{4}q^{3}.$$

Me cuesta un poco entender el cálculo. Intento ser un poco más formal. A modo de ejemplo, centrémonos en $A_{5}$ . Realmente es $A \cap G_{5}$ donde $G_{i}$ es el acontecimiento que $i$ partidos se jugaron en la serie. Entonces, $$P(A_{5}) = P(A \cap G_{5}) = P(A|G_{5})P(G_{5}) = \binom{5}{4}p^{4}qP(G_{5}).$$ Ahora, equiparamos este término a $P(A_{5})$ para obtener $\binom{5}{4}p^{4}qP(G_{5}) = \binom{4}{3}p^{4}q$ de lo que obtenemos, $$P(G_{5}) = \frac{\binom{4}{3}}{\binom{5}{4}}.$$ ¿Es una completa tontería? Si no es así, ¿puede alguien darme una intuición para $P(G_{5})$ ? Ahora mismo no me entra en la cabeza. Para decirlo de otra manera, $P(A_{5}) = \binom{4}{3}p^{4}q$ se dio en la respuesta, pero en mi intento, tengo esto $P(G_{5})$ término que no estoy seguro de cómo encontrar sin la ecuación $\binom{5}{4}p^{4}qP(G_{5}) = \binom{4}{3}p^{4}q$ .

Answer 1

No veo la forma de seguir tu planteamiento sin utilizar el del libro pero lo haré de todas formas.

Para $G_5$ que se produzca, cualquiera de los dos equipos $A$ necesita ganar $3$ o la primera $4$ juegos y luego ganar el juego $5$ con probabilidad $$\binom{4}{3}p^{4}q$$ o equipo $B$ necesita ganar $3$ o la primera $4$ juegos y luego ganar el juego $5$ con probabilidad $$\binom{4}{3}q^{4}p$$

así que $$P(G_5)=\binom{4}{3}p^{4}q+\binom{4}{3}q^{4}p$$

y $$P(A\mid G_5)=\frac{\binom{4}{3}p^{4}q}{\binom{4}{3}p^{4}q+\binom{4}{3}q^{4}p}$$

Entonces

$$P(A|G_{5})P(G_{5})=\frac{\binom{4}{3}p^{4}q}{\binom{4}{3}p^{4}q+\binom{4}{3}q^{4}p}\cdot\left(\binom{4}{3}p^{4}q+\binom{4}{3}q^{4}p\right)=\binom{4}{3}p^{4}q$$

Por supuesto, es más fácil señalar que el equipo $A$ debe ganar $3$ de la primera $4$ partidos y luego ganar el $5^{th}$ juego. Se trata de un binomio negativo con $n$ ensayos realizados $k$ éxitos donde $n=5$ y $k=4$ .

Tenemos

$$P(X=n)={n-1 \choose k-1}p^kq^{n-k}={4 \choose 3}p^4q$$