¿Es cierto que$m=n\implies A$ es invertible, para una matriz$m\times n$ que satisface$(AA^T)^r=I$

Question

Si$m,n,r\in \Bbb N$ y$A$ es una matriz$m\times n$ que satisface$(AA^T)^r=I$ es cierto que$m=n\implies A$ es invertible.

Creo que es cierto ya que$\det (AA^T)^r=1\implies \det A^{2r}=1\implies (\det A)^{2r}=1\implies \det A\neq 0\implies A $ es invertible.

Así que el resultado es cierto. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Su prueba está bien, pero puede ser más explícito si encuentra la inversa de$A$: siempre que$r\ge1$ tengamos$$AA^T(AA^T)^{r-1}=I$ $ y$A$ es cuadrado, entonces% PS

Answer 2

Puedes usar el método de contraposición también. Primero supongamos que$A$ no es invertible. Entonces,$\text{det}(A)=0$ o$A$ no es una matriz cuadrada (es decir,$m\ne n$). Dado que$(AA^T)^r=I$, no es el caso$\text{det}(A)=0$. Por lo tanto $m\ne n$. Por lo tanto,$m=n$ implica que$A$ es invertible.