Teoría de grupos conmutadores y grupos solubles.

Question

sea ​​G un grupo de tal manera que contenga 2 miembros$a, b \in G$ que sea estadístico:

1. $a = p^{-1} b p$ dónde $p \in G$
2. $a = q^{-1} [a,b]q $ dónde $q \in G$
3. $a,b,[a,b]\neq e$

donde$[a,b]$ es el conmutador de$a,b$ y$e$ el elemento de identidad del grupo

¿Puede G ser solucionable (finito / no finito)?

Answer 1

Suponga que$G$ es solucionable y deje que$G=G_1 > G_2 > \cdots G_n > G_{n+1}=1$ sea la serie derivada de$G$.

Hay un único$k$ con$1 \le k \le n$ tal que$a \in G_k \setminus G_{k+1}$. Si$b$ está conjugado con$a$ en$G$, entonces también debemos tener$b \in G_k \setminus G_{k+1}$. Pero entonces$[a,b] \in G_{k+1}$, así que$[a,b]$ no se puede conjugar con$a$.

Así que la respuesta a la pregunta es no.