¿Cuál es la fórmula general para el Área de una superficie 2-D en un colector 3-D?

Question

Supongamos que tenemos un televisor 3-D de colector $ ds^2=\delta_{ab}dx^{a}dx^{b},$ que contiene un 2-D de la superficie dada por una relación paramétrica $r^{a}\left(u,v\right)=x^{a}\left(u,v\right).$ Donde $ u $ $ v $ son dos parámetros independientes.

Sé que el Área de esta superficie es la magnitud de un 3-vector D

$$ dA_{a}=\varepsilon_{abc}\dfrac{\partial x^{b}}{\partial u}\dfrac{\partial x^{c}}{\partial v} du dv $$

$$dA^2=\delta^{ef}dA_{e}dA_{f}$$

¿Cómo puedo generalizar esta fórmula a un arbitrarias en 3-D colector dado por $ ds^2=g_{ab}dx^{a}dx^{b}$, donde:

$$ dA^2=g^{ab}dA_{b}dA_{un}? $$

Es decir, es posible escribir

$$ dA_{a}=\kappa_{abc}\dfrac{\partial x^{b}}{\partial u}\dfrac{\partial x^{c}}{\partial v} du dv $$

y, si es así, ¿cuál es $\kappa_{abc}$ ?

Answer 1

@Solenodon Paradoxus puede ser ha contestado a su pregunta ya. Pero permítanme hacer esto en más detalle. Supongamos que tenemos un 3-dim colector $\mathfrak{M}_3$ métrico de la función $g_{\alpha\beta}$. Tenga en cuenta que los colectores no contiene los vectores de sí mismo. Vectores surge en tangente espacios. Pero no vamos a ser tan específicos. Así que vamos a decir que $\mathfrak{M}_3$ contiene vectores, métrica, etc. teniendo en cuenta que estos elementos pertenecen a su ($\mathfrak{M}_3$'s) el espacio de la tangente. OK. Supongamos también tenemos 2-dim colector de decir $\mathfrak{M}_2\in\mathfrak{M}_3$. Pero $\mathfrak{M}_2$ puede ser considerado de forma individual con su propia métrica decir $G_{\mu\nu}$. Así que usted está pidiendo a la siguiente pregunta:

¿Cómo puedo saber $G_{\mu\nu}$ si sé $g_{\alpha\beta}$?

Supongamos $\mathfrak{M}_2$ representa poco de la superficie de $M_2$ en su espacio. O como usted dice $\mathfrak{M}_2$ pueden ser parametrizadas por dos variables $u, v$ (en el resto, a la que llamaremos $u^1$$u^2$) de la siguiente manera: $$x_1 = x_1(u^1, u^2),\, x_2 = x_2(u^1, u^2),\,x_3 = x_3(u^1, u^2);$$ Si tenemos planeado para calcular la longitud de arco $ds^2$ sobre nuestra superficie de $M_2$ que se podían hacer absolutamente de la misma manera que haríamos si este arco pertenecía $\mathfrak{M}_3$, pero con la única especialidad de: $\vec{x}$ es una función de $u$ nd $v$. Vamos a hacer esto. $$ds^2 = g_{\alpha\beta}(u^1,u^2)dx^\alpha(u^1, u^2) dx^\beta(u^1, u^2) = g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{du^\mu}\frac{dx^\beta}{du^\nu}du^\mu du^\nu$$

Pero en el otro lado

$$ds^2 = G_{\mu\nu}du^\mu du^\nu$$

Así tenemos, finalmente, $$G_{\mu\nu} = g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{du^\mu}\frac{dx^\beta}{du^\nu}$$

Answer 2

Dada una incorporación de variedades diferenciables suaves$M \rightarrow N$, siempre es posible retirar los tensores covariantes de$N$ a$M$. En la notación del físico:

PS

Para responder a su pregunta: retire la métrica 3D para obtener una métrica inducida en 2D en la superficie. En su caso, los intervalos de$$ A_{\mu \nu \dots} (x) = \frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial y^{\beta}}{\partial x^{\nu}} A_{\alpha \beta \dots} (y(x)). $ a través de$\mu, \nu, \dots$ y$\{1, 2\}$ a través de$\alpha, \beta, \dots$. Integrar la forma de volumen de la métrica inducida sobre la superficie:

PS