En una respuesta , mostré que:$$\sin(1)=2\sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(1)$ $ Donde$J_n(x)$ es la función de Bessel del primer tipo. ¿Hay un resultado más general para la suma infinita de la función de Bessel impar? $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k J_{2k+1}(x)\ =\ ?$ $$$\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(x)\ =\ ?$ $
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De la expansión de Jacobi-Anger:$$e^{i z\cos\theta} = J_0(z) + 2\sum_{n=1}^{+\infty}i^n J_n(z) \cos(n\theta)$ $ tenemos, considerando la parte imaginaria:$$\sin(z\cos\theta) = 2\sum_{m=0}^{+\infty}(-1)^m J_{2m+1}(z)\cos((2m+1)\theta)\tag{1}$ $ y podemos eliminar el término dependiente del coseno explotando las identidades:$$\int_{0}^{\pi/2}\cos((2n+1)x)\cos((2m+1)x)dx = \frac{\pi}{4}\delta_{m,n},$ $$$\sum_{m=0}^{+\infty}(-1)^m\cos((2m+1)\theta)=\frac{1}{2\cos\theta},$ $ que dan (integrando contra el núcleo apropiado):$$\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(z\cos\theta)}{2\cos\theta}d\theta=2\sum_{m=0}^{+\infty}J_{2m+1}(z),$ $ por lo tanto:
PS
Para la suma alterna, es suficiente tomar$$\begin{eqnarray*}\sum_{m=0}^{+\infty}J_{2m+1}(z) &=& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(z\cos\theta)}{\cos\theta}d\theta = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{\sin(z t)}{t\sqrt{1-t^2}}dt\\&=&\frac{1}{2}\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{(-1)^r}{(2r+1)4^r (r!)^2}z^{2r+1}=\frac{1}{2}\int_{0}^{z}J_0(u)du.\end{eqnarray*}$ en$\theta=0$ para tener:
PS
ILIV
Puntos
421
Probablemente hay un error tipográfico en:$\sin(1)=2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(1)$
porque$\sin(1)=0.841471...$ y$2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(1)=0.0396292...$
Una relación similar exacta es:$$\sin(1)=2\sum_{k=\infty0}^\infty (-1)^kJ_{2k+1}(1)$ $ Se pueden encontrar resultados más generales en: http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/23/01/
De J.Spanier, KBOldham, "Un atlas de funciones", 1ª Edición. 1987, página 518, ec. Las funciones de Struve son 52: 10: 4 y 52: 10: 6$$2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(x)=\int_{0}^{x}J_0(t)dt=xJ_0(x)+\frac{\pi x}{2}(J_1(x)h_0(x)-J_0(x)h_1(x))$ $$h_0(x)$ y$h_1(x)$.
