Por qué un álgebra de dimensión finita siempre tiene un submódulo más pequeño con un cociente semisimple

Question

$A$ es finito-dimensional de álgebra (posible sin la unidad, el campo correspondiente es $\mathbb{F}$), quiero demostrar que tiene un menor submódulo tener semisimple cociente. Lo que tengo es que si $M$ $N$ son submódulos de $A$ ($A$- módulo) tal que $A/M$ $A/N$ son semisimple $A$-módulos, a continuación, $A/M\cap N$ es semisimple $A$-módulo.

Así que para probar la original propuesta, todo lo que necesitas hacer es probar que existen en la mayoría de los finitos submódulos de $A$ tener semisimple cociente. Si puedo demostrar esto, puedo terminar mi trabajo utilizando el resultado anterior y por inducción. Pero no sé cómo probar esto.

Cualquier ayuda o sugerencia será bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede tomar ventaja del hecho de que submódulos también se $\mathbb{F}$-espacios vectoriales y, como tal, tiene un pozo de dimensiones definidas. No importa cómo muchos de los submódulos hay, hay sólo un número finito de posibilidades para su dimensión.

Deje $k$ ser la dimensión más pequeña de tal manera que un submódulo $M$ $A/M$ semi-simple que existe.

Si hay alguna manera $M_1, M_2$ (y tal vez finitely o infinitamente muchos otros) de dimensión $k$ y con semi-simple cociente, podemos usar el resultado para obtener una contradicción. Así llegamos a la conclusión de que $M$ es la única dimensión de $k$ submódulo con semi-simple cociente.

Así se resuelve el problema para un no-tan-elegante definición de los más pequeños. Con el fin de obtener la mejor definición de ($M$ se encuentra en todas las $N$ tal que $A/N$ es semi-simple) podemos - ¡otra vez! aplicar el resultado!