Construir el tipo de orden en Z

Question

Mi pregunta es cómo construir un conjunto ordenado que tenga un tipo de orden lo más grande posible en Teoría de conjuntos de Zermelo Z ? Por ejemplo, cómo construir $\epsilon_0$ o incluso algún tipo de orden incontable en Z ?

Conozco el resultado básico sobre los ordinales y no pudimos construir $\omega + \omega$ en Z sino un conjunto ordenado isomorfo a él. No estoy muy seguro de que esta cuestión esté relacionada con los números de Hartogs, ya que la construcción de los números de Hartogs necesita ZF en lugar de Z .

Esta pregunta está relacionada con otra que hice: La diferencia entre Z y ZF

Answer 1

Podemos hacerlo mucho mejor que $\epsilon_0$ en Z - podemos construir conjuntos bien ordenados incontables ¡! La observación clave es que, mientras se construye la ordinales utiliza la Sustitución, la construcción de largo conjuntos bien ordenados es realmente un trabajo sólo para Powerset y Separación.

Es un buen ejercicio para verificar el siguiente argumento:

• Z demuestra que el conjunto $\mathcal{R}$ de todas las relaciones binarias en $\omega$ existe.

• Z demuestra entonces que el subconjunto $\mathcal{W}\subseteq\mathcal{R}$ de todos fundado relaciones binarias en $\omega$ existe.

• Z demuestra entonces que el conjunto $\mathcal{W}'$ de clases de equivalencia de elementos de $\mathcal{W}'$ bajo la relación "son de orden isomorfo" existe.

• Por último, Z demuestra que la relación $\mathcal{L}\subseteq\mathcal{W}'\times\mathcal{W}'$ dado por "es más largo que" existe.

Pero ahora la pareja $\mathfrak{O}=(\mathcal{W}', \mathcal{L})$ es un conjunto bien ordenado incontable, demostrable en Z (por el argumento habitual). Así que tenemos:

Aunque el ordinal $\omega_1$ no existe de forma demostrable en Z, podemos emular su construcción trabajando con conjuntos de números naturales.

Podemos ir mucho más allá: el argumento anterior muestra que para cualquier conjunto $A$ podemos formar la orden del pozo $Ord(A)$ de tipos de orden de relaciones bien ordenadas en subconjuntos de $A$ . En particular, podemos aplicar esto a $\mathfrak{O}$ para construir una versión de $\omega_2$ y así sucesivamente. De hecho, podemos demostrar en Z que para cada $n$ una versión de $\omega_n$ existe (por supuesto, tenemos que expresar esto con bastante cuidado); a la inversa, es consistente con Z que todo conjunto bien ordenado es isomorfo de orden a un subconjunto de una de estas versiones, por lo que en cierto sentido Z "llega hasta" el ordinal $\omega_\omega$ .

(Para interpretar la frase anterior, es un buen ejercicio demostrar que en $(V_{\omega+\omega})^L$ el modelo transitivo más pequeño de Z, las longitudes de los conjuntos bien ordenados son exactamente los ordinales $<\omega_\omega^L$ . Si no está familiarizado con el " $^L$ ", y luego trabajar con $V_{\omega+\omega}$ en su lugar y asumir GCH).