Secciones de paquetes asociados

Question

Deje $\pi:P\rightarrow M$ ser un Director y paquete de $\pi_V:P\times_G F\rightarrow M$ ser asociado de paquete a través de la representación de $\rho:G\rightarrow GL(V)$.

Hecho:

$\Gamma(P\times_G V)\simeq\{f:P\rightarrow V: f(pg)=\rho(g^{-1})f(p)\}=:A$

Estoy tratando de conseguir una mejor comprensión de esta norma.

Supongamos $f\in A$. Queremos mostrar que esta $f$ corresponde a un único $\sigma\in \Gamma(P\times_G V)$. Y si no me equivoco, dado $f$, queremos construir un mapa $\sigma:M\rightarrow P\times_G V$ tal que $\pi_V\circ \sigma=\text{id}$.

Basado en notas de la conferencia encontrado aquí, creo que el primer paso en este proceso es definir el mapa

$F:P\rightarrow P\times_G V$

por $F=[\text{id}\times f]$.

A continuación, $F(pg)=[pg,\rho(g^{-1})f(p)]=[p,f(p)]=F(p)$

Las notas de la conferencia, a continuación, decir que este mapa 'desciende' a una sección de $\sigma:M\rightarrow P\times_G V$.

Me estoy preguntando cómo construir este 'descenso'? Se realiza mediante la definición de $\sigma=F\circ \pi^{-1}$? ¿Esto tiene sentido? Parece ser 'bien definido' ya que se acaba de tomar cualquier $x\in M$ a su fibra, lo que a continuación, se asigna únicamente a una clase de equivalencia. Apenas se parece un poco cutre como $\pi^{-1}$ no es una función por decir.

Por el contrario, si $\sigma\in \Gamma(P\times_G V)$, $\sigma$ 'levanta' a un mapa de $F:P\rightarrow P\times_G V$ y desde $\pi_F\circ \sigma=\text{id}$, se deduce que el $F=\text{id}\times f$. Me parece que no puede conseguir mi cabeza alrededor de esta explicación de lo contrario el argumento y estoy esperando que alguien es capaz de ayudarme.

Answer 1

Después de muchas horas, creo que he contestado a mi pregunta: Reclamo:

Hay una correspondencia 1-1 \begin{align*} \{f:P\rightarrow V: f(pg)=\rho(g^{-1})f(p) \}\simeq \Gamma(P\times_G V). \end{align*} Prueba:

Deje $f:P\rightarrow V$ ser como se describe. Definir las secciones locales $\tilde{s}_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow P\times_G V$ por \begin{align*} \tilde{s}_{\alpha}(m)&=[(s_{\alpha}(m),f(s_{\alpha}(m))] \end{align*} Definir $\sigma=\tilde{s}_{\alpha}$$U_{\alpha}$. A continuación, $\sigma$ es una sección global, desde la definición está de acuerdo en los traslapos. De hecho, para $m\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$, \begin{align*} \tilde{s}_{\beta}(m)&=[(s_{\beta}(m),f(s_{\beta}(m))]\\ &=[(s_{\alpha}(m)g_{\alpha\beta}(m),f(s_{\alpha}(m)g_{\alpha\beta}(m))]\\ &=[(s_{\alpha}(m)g_{\alpha\beta}(m),\rho(g_{\beta\alpha}(m))f(s_{\alpha}(m))]\\ &=[((s_{\alpha}(m),f(s_{\alpha}(m))]\\ &=\tilde{s}_{\alpha}(m) \end{align*} Para cada una de las $f$ corresponde a un elemento en $\Gamma(P\times_G V)$.

Por el contrario, supongamos $\sigma\in \Gamma(P\times_G V)$. La sección $\sigma$ nos permite construir una función de $f_{\sigma}:P\rightarrow V$, de la siguiente manera: Vamos a $p\in P$ ser abritrary y escribir $m=\pi(p)$. Definimos la función de $f_{\sigma}$ \begin{align*} f_{\sigma}(p)&=v,\quad\text{such that } \sigma(m)=[(p,v)]. \end{align*} Este es un lugar bien definido de la construcción ya que si elegimos otro representante de $P\times_G V$ y escribir $\sigma(m)=[(q,w)]$ algunos $q\in P$$w\in V$, $q=pg$ para algunos $g\in G$ ($p$ y $q$ ambos se encuentran en $\pi^{-1}(m)$) y, a continuación, establezca $v=\rho(g)w$.

Esta construido $f_{\sigma}$ satisface la propiedad deseada. En efecto, supongamos $f(pg)=\tilde{v}$. Es decir, $\tilde{v}$ es el vector que $\sigma(\pi(pg))=\sigma(m)=[(pg,\tilde{v})]$. Entonces tenemos \begin{align*} \sigma(m)=[(pg,\tilde{v})]&=[(p,\rho(g)\tilde{v})]. \end{align*} En otras palabras, $f(p)=\rho(g)\tilde{v}=\rho(g)f(pg)$.

A alguien podría ser capaz de verificar si es correcto?