Integral de trayectoria de una forma cerrada en $\mathbb{R}^{2}\backslash\{0\}$

Question

Dejemos que

$$ \omega=\frac{-y\; dx}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x\; dy}{x^{2}+y^{2}} \in \Omega^{1}(\mathbb{R}^{2}\backslash\{0\}) $$

Entiendo que el formulario $\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy$ está cerrado pero no es exacto en $\mathbb{R}^{2}\backslash\{0\}$ y estoy algo familiarizado con su relación con el número de bobinado.

Me encontré con la afirmación de que (estoy bastante seguro de que estoy recordando correctamente), si uno restringe a un camino, $\gamma:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}\backslash\{0\}$ en el que $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ satisface $y(t)\ge 0$ para todos $t$ y, a continuación, cualquier camino, $\alpha$ que satisfagan estos requisitos y cuyos puntos finales coincidan con los de $\gamma$ también satisface $\int_{\gamma}\omega=\int_{\alpha}\omega$ .

Alguien me habló de una prueba basada en la homotopía, pero no se me da muy bien demostrar cuándo las funciones son homotópicas, así que soy un poco reacio a recorrer ese camino.

Si uno hace un cambio de coordenadas a coordenadas polares, $\omega$ se convierte en $d\theta$ (¿verdad?).

¿Cuál es la importancia de este hecho cuando $\gamma$ se ve obligado a obedecer las condiciones anteriores (es decir $y$ es no negativo)?

Me disculpo sinceramente por la vaguedad de mi pregunta, es la primera vez que posteo aquí, un poco nervioso pidiendo ayuda. Me parece que las formas diferenciales y similares son difíciles de analizar, en parte porque las notas proporcionadas tienden a suprimir una gran cantidad de notación.

Si alguien puede explicarme la situación se lo agradeceré siempre.Ahora mismo hablo conmigo mismo sólo como si fuera un niño de cinco años.

Answer 1

Respuesta corta: Probablemente quieras buscar en la cohomología de Rham. La idea de los cortes de rama en el análisis complejo también está relacionada, y evita tener que tratar con formas en los colectores en general. Aun así, lo que ocurre es realmente de naturaleza topológica, y no he visto ningún libro de texto de análisis complejo que trate bien el asunto sin salirse de un curso estándar de introducción al análisis complejo.

Respuesta larga: La idea subyacente es que si $X$ es contráctil, entonces cualquier $\eta\in \Omega^p(X)$ también es exacta. No sé con qué topología estás familiarizado, pero una de las situaciones comunes que se encuentran es la de $X$ en forma de estrella: existe un punto $x_0\in X$ como el segmento de línea desde cualquier $x\in X$ a $x_0$ se encuentra enteramente en $X$ . Básicamente, para construir la forma $\theta$ con $d\theta = \eta$ simplemente integramos a lo largo de cada uno de esos segmentos de línea; el hecho de que $d\eta$ significa que (debido al teorema de Stokes) esta operación está bien definida y da una función suave sobre $X$ .

Por lo tanto, consideremos $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ arriba con $y\geq 0$ . Entonces $\gamma$ se encuentra en su totalidad en la región $$D = \{(x, y):\, y \geq 0, (x, y)\not = (0, 0)\},$$ que tiene forma de estrella. (Toma $x_0$ sea un punto de la forma $(0, y)$ . Además, estoy siendo descuidado aquí al abordar cuestiones de compacidad y suavidad, pero no tengo espacio aquí para tratarlo adecuadamente. También ) Esto significa que $\eta = d\theta$ para algunos $\theta$ en $D$ . Para dos trayectorias cualesquiera $\alpha, \alpha'$ Ambos se ejecutan a partir de $p$ a $p'$ podemos formar un bucle cerrado $\beta$ tomando $\alpha$ de $p$ a $p'$ entonces $\alpha'$ de $p'$ a $p$ . Así, por el teorema de Stokes, $$\int_\alpha \eta - \int_\alpha' \eta = \int_\beta \eta = \int_\beta d\theta = \int_{\delta \beta} \theta = 0.$$ Por otro lado, no hay una función $\zeta$ en la totalidad de $\mathbb{R}^2\setminus (0, 0)$ que satisface $\eta = d\zeta$ . La obstrucción es, como usted mencionó, que $\int_{S^1} \eta \not= 0$ . Si existiera tal función $\zeta$ entonces tendríamos que $\int_{S^1} \eta = 0$ por el mismo argumento anterior.

Answer 2

Se ha dado cuenta de que $w = d\theta$ cuando se escribe en coordenadas polares, y eso es suficiente para mostrar la propiedad de independencia de la trayectoria.

Tenga en cuenta que si la curva $\gamma$ satisface $y(t)\ge 0$ entonces $\gamma$ no pasa por la línea $L = \{(0,t): t < 0\}$ . En particular, $\theta$ es una función bien definida en $\mathbb R^2 \setminus L$ y así

$$\int_{\gamma} \omega = \int_{\gamma} d\theta = \theta (\gamma(1)) - \theta(\gamma(0)). $$

Por el teorema fundamental del cálculo. En particular, es independiente de la curva (sólo depende de los puntos extremos).