Necesita ayuda para resolver analíticamente un sistema particular de ecuaciones no lineales.

Question

¿Cómo se podría resolver analíticamente un sistema de ecuaciones no lineales de la forma?

$a + b + c = 4$

$a^2 + b^2 + c^2 = 6$

$a^3 + b^3 + c^3 = 10$

¡Gracias!

Answer 1

Pista : las identidades de Newton .

PS

Recuerde que$$\begin{align*}a+b+c&=4\\ ab+bc+ca=\frac12((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))&=\frac12(4^2-6)=5\\abc=\frac13((ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2)(a+b+c)+(a^3+b^3+c^3))&=\frac13((5-6)\cdot 4+10)=2\end{align*}$ son las tres raíces de un polinomio$a,\ b,\ c$.

Answer 2

Una solución es$1,1,2$ por inspección.

Si lo reescribimos en$d=a-1, e=b-1, f=c-1$, las ecuaciones se convierten en

$d+e+f=1$

$d^2+e^2+f^2=1$

$d^3+e^3+f^3=1$

y todas las variables, si son reales, deben estar en$[-1,1]$. Yo esperaría seis soluciones del producto de los grados y he encontrado tres. Por lo tanto, es natural suponer que dos variables son iguales para hacer tres más, pero las dos primeras ecuaciones dan como resultado$\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{-1}{3}$, lo que no satisface la última.