No tengo ni idea de cómo empezar, parece que la integración por partes no va a funcionar.
$$\int_0^{\infty}\frac{x^5\sin(x)}{(1+x^2)^3}dx$$
Si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto le estaría muy agradecido.
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Tunk-Fey
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Considere la función $f(t)=e^{\large-\sqrt a|t|}$ entonces la transformada de Fourier de $f(t)$ viene dada por $$ \begin{align} F(x)=\mathcal{F}[f(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ix t}\,dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sqrt a|t|}e^{-ix t}\,dt\\ &=\int_{-\infty}^{0}e^{\sqrt at}e^{-ix t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-\sqrt at}e^{-ix t}\,dt\\ &=\lim_{u\to-\infty}\left. \frac{e^{(\sqrt a-ix)t}}{\sqrt a-ix} \right|_{t=u}^0-\lim_{v\to\infty}\left. \frac{e^{-(\sqrt a+ix)t}}{\sqrt a+ix} \right|_{0}^{t=v}\\ &=\frac{1}{\sqrt a-ix}+\frac{1}{\sqrt a+ix}\\ &=\frac{2\sqrt a}{x^2+a}. \end{align} $$ A continuación, la transformada inversa de Fourier de $F(x)$ es $$ \begin{align} f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(x)]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(x)e^{ix t}\,dx\\ e^{-\sqrt a|t|}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sqrt a}{x^2+a}e^{ix t}\,dx\\ \frac{\pi e^{-\sqrt a|t|}}{\sqrt a}&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix t}}{x^2+a}\,dx,\tag1 \end{align} $$ donde $(1)$ puede reescribirse como $$ \int_{0}^{\infty}\frac{e^{ix t}}{x^2+a}\,dx=\frac{\pi e^{-\sqrt at}}{2\sqrt a}.\tag2 $$ Ahora diferenciar $(2)$ con respecto a $a$ dos veces y con respecto a $t$ cinco veces, tomar la parte real, y establecer $a=t=1$ rinde \begin{align} \Re\left[\int_{0}^{\infty}\frac{\partial^2}{\partial a^2}\frac{\partial^5}{\partial t^5}\left(\frac{e^{ix t}}{x^2+a}\right)\,dx\right]_{t=1,\,a=1}&=\left.\frac{\partial^2}{\partial a^2}\frac{\partial^5}{\partial t^5}\left(\frac{\pi e^{-\sqrt at}}{2\sqrt a}\right)\right|_{t=1,\,a=1}\\ -2\int_{0}^{\infty}\frac{x^5\sin x}{(x^2+1)^3}\,dx&=-\frac{\pi}{4e}\\ \int_{0}^{\infty}\frac{x^5\sin x}{(x^2+1)^3}\,dx&=\large\color{blue}{\frac{\pi}{8e}}. \end{align}
Es bien sabido que $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx$ converge. Entonces $$ \int_0^{\infty}\frac{x^5\sin x}{(1+x^2)^3}\,dx=\int_0^{\infty}\Bigl(\frac{x^5}{(1+x^2)^3}-\frac1x\Bigr)\sin x\,dx+\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}. $$ Esto implica que la integral converge, ya que la primera integral del lado derecho converge absolutamente,
Para calcular el valor utiliza el cálculo de residuos. Sea $$ f(z)=\frac{z^5\,e^{iz}}{(1+z^2)^3}. $$ $f$ es meromorfa en un conjunto abierto que contiene el semiplano superior, con un polo de orden $3$ en $z=i$ . Para $R>1$ dejar $C_R$ sea el semicírculo $z=R\,e^{it}$ , $0\le t\le\pi$ . Entonces $$ \int_{-R}^R\frac{x^5e^{ix}}{(1+x^2)^3}\,dx+\int_{C_R}f(z)\,dz=2\,\pi\,i\,\text{Res}(f;i). $$ Ahora tienes que hacerlo:
- Demostrar que $\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\,dz=0$
- Calcula el residuo.
user111187
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Una alternativa a la obvia respuesta canónica dada por Julián Aguirre: es fácil de calcular $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i b x}}{x^2+a}dx $$ para $a, b > 0$ porque el integrando sólo tiene polos simples. Ahora diferenciamos con respecto a $a$ dos veces y con respecto a $b$ 5 veces, y poner $a = b = 1$ . El teorema que necesitas para justificar la diferenciación lo puedes encontrar en tu libro de texto.
schooner
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Nota \begin{eqnarray} I&=&\int_0^\infty \frac{x[(x^2+1)-1]^2\sin x}{(1+x^2)^3}dx\\ &=&\int_0^\infty \frac{x\sin x}{1+x^2}dx-2\int_0^\infty \frac{x\sin x}{(1+x^2)^2}dx+\int_0^\infty \frac{x\sin x}{(1+x^2)^3}dx. \end{eqnarray} Desde $$ \int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{b^2+x^2}dx=\frac{\pi}{2b}e^{-ab}, a>0, b>0, $$ tenemos \begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{b^2+x^2}dx&=&=-\frac{d}{da}\int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{b^2+x^2}dt=\frac{\pi}{2e^{-ab}},\\ \int_0^\infty \frac{x\sin x}{(b^2+x^2)^2}dx&=&-\frac{1}{2b}\frac{d}{db}\int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{b^2+x^2}dt=\frac{a\pi}{4be^{-ab}},\\ \end{eqnarray} y \begin{eqnarray} \frac{d^2}{db^2}\int_0^\infty \frac{x\sin (ax)}{b^2+x^2}dx&=&8b^2\int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{(b^2+x^2)^3}dx-2\int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{(b^2+x^2)^2}dx. \end{eqnarray} Esto último implica \begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{(b^2+x^2)^3}dx=\frac{a(ab+1)\pi}{16b^3e^{-ab}}. \end{eqnarray} Así, $$ I=\frac{\pi}{8e}.$$
