La inclusión no es una cofibración.

Question

¿Qué es un ejemplo de un espacio compacto de Hausdorff$X$ y un subespacio contratable $A\subset X$ tal que$H^2(X)\ncong H^2(X/A)$?

Tenga en cuenta que$A\subset X$ no debe ser una cofibración. Estaba pensando que$X=[0,1]^2$ y$A$ el espacio del peine podría funcionar pero no estoy seguro.

Answer 1

Deje $X=S^2$ y deje $A$ ser el complemento de un punto en $X$. A continuación, $X/A$ tiene sólo dos puntos, y es, de hecho, contráctiles. Por lo $H^2(X)\cong\mathbb{Z}$ pero $H^2(X/A)$ es trivial.

He aquí un ejemplo para que $A$ es cerrado. Comience con una esfera $S^2\subset\mathbb{R}^3$, y, a continuación, reemplazar una vecindad de un punto circular por las ondas que oscilan más rápido y más rápido a medida que cerca de el punto, acumulando en todo un segmento de línea (como un 2-dimensional de la versión de la topologist de la curva sinusoidal). Deje $A$ ser el segmento de la línea donde las olas se acumulan y deje $X$ ser la unión de la modificación de la esfera y $A$. No hay camino en $X$ desde un punto de $A$ a un punto de la esfera, por lo $X$ es débil homotopy equivalente a la inconexión de la unión de la pinchada de la esfera y de $A$; en particular, $H^2(X)$ es trivial. Pero $X/A$ es una simple esfera, por lo $H^2(X/A)\cong \mathbb{Z}$.