¿$\sum_{n = 2}^{\infty} [\zeta(n) - 1]$ Converge?

Question

Pregunta en el título. ¿$\sum_{n = 2}^{\infty} [\zeta(n) - 1]$ Converge? Si no, ¿qué hay de$\sum_{n = 1}^{\infty} [\zeta(2n) - 1]$?

Answer 1

La familia$(n^{-k})$ con$n, k \ge 2$ es sumable, porque la serie geométrica nos da la estimación

PS

Por lo tanto podemos intercambiar el orden de sumatoria y escribir.

PS

Answer 2

Sobre la primera serie:

$$S=\sum_{n\geq 2}\left(\zeta(n)-1\right)=\int_{0}^{+\infty}\sum_{m\geq 1}\frac{x^m}{m!}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x}\right)\,dx $ $ lleva a:$$ S = \int_{0}^{+\infty}(e^x-1)\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x}\right)\,dx = \int_{0}^{+\infty}e^{-x}\,dx = \color{red}{1}.

Sobre la segunda serie:

$$S= \sum_{n\geq 1}\left(\zeta(2n)-1\right) = \int_{0}^{+\infty}\sum_{m\geq 0}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x}\right)\,dx$ $ por lo tanto,$$ S = \int_{0}^{+\infty}\frac{\sinh(x)}{e^x(e^x-1)}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{u-\frac{1}{u}}{u^2(u-1)}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{u+1}{u^3}\,du=\color{red}{\frac{3}{4}}. La misma técnica (es decir, para explotar la representación integral para la función$\zeta$) también funciona bastante bien para problemas similares .

Answer 3

Calculó la solución:$\sum_{n=2}^{\infty} [\zeta(n) - 1] = \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty} n^{-k} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}$, que converge en comparación con$\zeta(2)$.

Answer 4

PS

que$$0\le \zeta(n)-1=\frac{1}{2^n}+\sum_{k\ge3}\frac{1}{k^n}\le\frac{1}{2^n}+\int_2^\infty\frac{dx}{x^n}=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{(n-1)2^{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}\frac{1}{2^n}$para$\le\frac{3}{2^n}$. Por lo tanto, la suma converge en comparación con la serie geométrica$n\ge2$.