¿Por qué son estos dos funtores isomorfos?

Question

Deje $A$ ser un local noetherian anillo, $M$ $A$- módulo finitely generado. Deje $f$ $A$- regular y $M$-regular elemento (es decir, $f$ no es un divisores de cero en $A$ o en $M$). A continuación, dentro de la categoría de $A/fA$-módulos (creo que podemos suponer finitely generado), tenemos los siguientes isomorphisms de functors:

Ext$^n_{A/fA}(M/fM,\_)\cong$ Ext$^n_A(M,\_)$ por cada $n\geq0$

Ext$^n_{A/fA}(\_,M/fM)\cong$ Ext$^{n+1}_A(\_,M)$ por cada $n\geq0$

He encontrado este teorema en algunas notas, pero no sé cómo demostrarlo. Incluso estoy seguro de que no entiendan lo que significa, que parece dar a entender que el functor Ext$^n_A(M,\_)$ se define en la categoría de $A/fA$-módulos. Podría usted decirme cómo probar y me podrían ayudar a entender mejor la declaración, por favor?

Answer 1

Deje $R,S$ ser anillos, vamos a $\phi:R \to S$ ser un anillo mapa. Entonces tenemos functors $\uparrow = \uparrow_R^S : \operatorname{mod}_R \to \operatorname{mod}_S$ ("inducción") y $\downarrow = \downarrow^S_R : \operatorname{mod}_S \a \operatorname{mod}_ r$ ("restriction") defined as follows: $M \downarrow $ is the $R$-module with the same underlying set as $M$ and with $R$-action $r \cdot m := \phi(r)m$ and $N \uparrow : S \otimes _R M$, where the right-action of $R$ on $S$ is $s\cdot r := s\phi(r)$.

Ejemplo: $\phi$ es un cociente de mapa de $A \to A/f$. A continuación,$N \uparrow = A/f \otimes _A N \cong N/fN$.

En general, tenemos $\hom_S(M\uparrow, X ) \cong \hom_R( M, X\downarrow)$ - ver Cartan y Eilenberg p.29. Este es "el cambio de los anillos" y dice que la inducción y la restricción son mutuamente adjunto functors. Siempre tenemos un mapa de $\phi^*: \operatorname{Ext}^n_S(M\uparrow, X) \to \operatorname{Ext}^n_R(M, X\downarrow)$ (uso el Yoneda definición de Ext, por ejemplo). No es un isomorfismo en general, pero si $\operatorname{Tor}^R_n(S, X) = 0$ $n>0$ es un isomorfismo (CE página 118).

En su caso, una resolución proyectiva de $A/f$ $A$ está dado por

$$ 0 \to Af \to A \to A/f \to 0 $$

Para el cálculo de la Tor grupos, tensor de la con $M$:

$$ 0 \to Af \otimes _A M \to M \to M/f \to 0$$

(hacer algunas identificaciones). La única manera en que esto podría no ser exacta es si $xf \otimes _A m \mapsto xfm$ no inyectiva, sino $f$ no es un divisor de cero en a $M$. Por lo tanto todos los más altos Tor grupos de desaparecer.