Medida de Lebesgue

Question

¿Cómo puedo encontrar la medida de Lebesgue de un intervalo $[n,n+\frac{1}{n^{2}}]$ cuando $n\in\mathbb{N}$ ? Tengo que utilizar la siguiente definición:

La función de conjunto $\lambda^{n}$ en ( $\mathbb{R}^{n}, \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ ) que asigna a cada medio abierto $[[a,b)) = [a_{1},b_{1}) \times \dots \times [a_{n},b_{n})\in\mathcal{J}$ el valor: $\lambda^{n}([[a,b))):=\prod_{j=1}^{n}(b_{j}-a_{j})$ se llama medida de Lebesgue n-dimensional.

He considerado escribir $[n,n+\frac{1}{n^{2}}]$ como una unión de distintos intervalos semiabiertos, pero sin suerte. He intentado escribirlo:

$[n,n+\frac{1}{n^{2}}] = [n,n+\frac{1}{n^{2}}-1) \cup (n+\frac{1}{n^{2}}-1,n+\frac{1}{n^{2}}]$

Pero entonces me pierdo el punto $n+\frac{1}{n^{2}}$ ?

Answer 1

Esta pregunta no puede responderse sin asumir algunas propiedades de $\lambda$ como ser contablemente aditivo, aditivo, o al menos monótono. La última de estas propiedades es la más débil y suficiente para resolver la cuestión. Porque implica que $$\lambda\big([n,n+1/n^2)\big)\leq\lambda\big([n,n+1/n^2]\big)\leq\lambda\big([n,n+1/n^2+\epsilon)\big)$$ para todos $\epsilon>0$ . Esto determina un valor único para $\lambda\big([n,n+1/n^2]\big)$ .

Answer 2

Teorema ( de la continuidad de la medida )

Dejemos que $(X, \mathscr{M}, \mu)$ sea un espacio de medidas y que $\{A_n\}$ sea una secuencia de conjuntos medibles.

1) Si $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$ entonces $$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to \infty} \mu (A_n).$$ 2) Si $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \ldots$ y $\mu(A_1)<\infty$ entonces $$\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to \infty} \mu (A_n).$$

Tienes que aplicar esto. Sugiero usar 2).

Answer 3

Quizás también se podría argumentar así:

$[a,b)$ es medible por Lebesgue por lo que por definición esto significa que para cada conjunto $S \subset \mathbb R^n$ se mantiene lo siguiente:

$$\lambda (S) = \lambda(S \cap [a,b) ) + \lambda ( S \setminus [a,b))$$

En particular, para $S= [a,b]$ tenemos

$$\lambda ([a,b]) = \lambda([a,b] \cap [a,b) ) + \lambda ( [a,b] \setminus [a,b)) = \lambda([a,b)) + \lambda (\{b\}) = \lambda([a,b))$$

Ahora que sabemos $\lambda ([a,b]) = \lambda([a,b))$ podemos aplicar la definición de $\lambda([a,b))$ para conseguir $$\lambda [n,n+\frac{1}{n^{2}}] = \lambda ([n,n+\frac{1}{n^{2}})) = n+\frac{1}{n^{2}} - n = \frac{1}{n^{2}}$$