Si la suma de dos variables aleatorias independientes está en $L^2$ ¿es cierto que ambos están en $L^1$ ?

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variables aleatorias independientes. Si $\mathbb E(X+Y)^2 < \infty$ ¿tenemos $\mathbb E |X| < \infty$ y $\mathbb E |Y| < \infty$ ?

Lo que realmente quiero es que $X$ y $Y$ son ambos en $L^2$ es decir, $\mathbb E X^2 < \infty$ y $\mathbb E Y^2 < \infty$ . Pero esto puede reducirse a $\mathbb E |X|\mathbb E |X| < \infty$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $X$ y $Y$ están en $L^1$ .

Podría ser útil ver que desde $|X| < |Y| + |X+Y|$ (y por simetría), ambos $X$ y $Y$ o ninguno de ellos está en $L^1$ . Así que podemos suponer $\mathbb E |X| = \infty$ y $\mathbb E |Y| = \infty$ y tratar de encontrar una contradicción. Pero aquí es donde me quedé atascado.

Answer 1

Observe que $$\mathbb E(X+Y)^2=\int_{\mathbb R^2}(x+y)^2\mathrm d\mathbb P_X\otimes \mathbb P_Y(x,y)=\int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}(x+y)^2 \mathrm d \mathbb P_X(x)\right)\mathrm d\mathbb P_Y(y)=\\=\int_{\mathbb R}\mathbb E[(X+y)^2]\mathrm d\mathbb P_Y(y).$$ Desde $y\mapsto \mathbb E[(X+y)^2]$ es integrable sobre $\mathbb R$ para alguna medida de probabilidad, es en particular finita para alguna $y$ Por lo tanto $\mathbb E(X^2)$ es finito. Del mismo modo, se puede demostrar que $\mathbb E(Y^2)$ es finito.

Answer 2

Si tienen la media finita x= $E X < \infty$ y $y= E Y <\infty$ entonces sí $E(X+Y)^2 = E(X^2)+E(Y^2)+2 E(X)*E(Y) = E(X^2)+E(Y^2)+2xy < \infty$ . Si no, me temo que se puede encontrar un caso patológico cuando esto no es cierto.

Permítanme ponerme al día. Creo que la respuesta anterior dada por David Giraudo es correcta. Permítanme ampliarla un poco. $E(X+y)^2<\infty$ para algunos $y$ significa que $E(X+y)=E(X)+y<\infty$ para esto $y$ . Esto significa que $E(X)<\infty$ . Esto significa que $E(X+y)^2=E(X^2)+2E(X)y+y^2 <\infty$ . Así que $E(X^2)<\infty$ .