Cómo probar: Momento Generador de función Teorema de unicidad

Question

Muchos de los resultados se basa en el hecho de que el Momento de Generación de Función (MGF) Teorema de Unicidad, que dice:

Si $X$ $Y$ son dos variables aleatorias y la igualdad se mantiene para su MGF: $m_X(t) = m_Y(t)$ $X$ $Y$ tienen la misma distribución de probabilidad: $F_X(x) = F_Y(y)$.

La prueba de este teorema no se muestra nunca en los libros de texto, y me parece no puede encontrar en línea o en cualquier libro que tenga acceso.

Alguien puede mostrarme la prueba o decirme donde encontrarla?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

$$ (\ foralli \ geqslant0) \ qquad \ left. \ frac {\ mathrm d ^ n} {\ mathrm ds ^ n} \ mathbb E [s ^ X] \ right | _ {s = 0} = n " \ mathrm e ^ {- \ mathrm itx} \, \ mathrm dt = 2 \ pi \ cdot \ mathbb P [X = x] $$

Answer 2

En el caso en que$X$ tiene función de densidad$\phi(x)$, $$ M_X (it) = E (e ^ {itX}) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {itx} \ phi (x) dx, $$, que es la transformada de Fourier de$\phi(x)$. Por lo tanto,$\phi(x)$ se puede recuperar de su MGF utilizando la fórmula de inversión de Fourier.

La función$M_X(it)$ se llama la función característica de$X$. Consulte el Capítulo 6 del libro de Kai Lai Chung Curso de teoría de la probabilidad para obtener más detalles.