Área de un triángulo plano como límite de un triángulo esférico

Question

Sabemos que el área de un triángulo esférico (en una unidad de la esfera) está dada por $A(\triangle) = \alpha + \beta + \gamma - \pi$, donde $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ son los ángulos interiores del triángulo esférico.

Me gustaría ver cómo plano (Euclidiana) geometría funciona como un límite cuando el radio de la esfera se extiende hacia el infinito. Claramente la curvatura de la esfera $1/r$ se convierte en cero y una esfera se convierte en un plano. ¿Qué sucede con el área del triángulo?

Si decimos que el área del triángulo es \begin{equation} A(\triangle) = r^2 [(\alpha + \beta + \gamma) - \pi] \end{equation} claramente $\alpha + \beta + \gamma - \pi$ ir a cero, pero no a la velocidad que $r^2$ va al infinito. Parece que este límite es infinito.

No me parece que no podemos encontrar algo parecido a $b h/2$ (base por altura sobre dos) a partir de la geometría esférica. A la derecha?

Por supuesto, los objetos se amplifica en la zona por $r^2$ o de longitud por $r$ así que hay que tener algo para tirar de ellos hacia atrás.

Gracias.

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Actualización: Una manera de tirar para atrás es pensar que el real longitudes de arco de la estira triángulo segmentos son $a=r \alpha$, $b=r \beta$, y $c= r \gamma$, por lo que nos pueda pasar una $r$ dentro de la fórmula de arriba, y tiene

\begin{equation} A(\triangle) = r [(a+b+c) - \pi r] \end{equation}

donde ahora se $a,b$, e $c$ son las longitudes de los lados. Tirando $r$ dentro de nuevo me muestra el área de un círculo y... parece que será mejor que nos apuntan hacia

La fórmula de Heron

y olvidarse de la base x altura/2. La fórmula de Heron está bien para mí.

Answer 1

He encontrado una conexión aquí. Necesitamos usar Cagnoli del Teorema de

Es decir, dado el exceso de $E=\alpha+\beta+\gamma-\pi= A(\triangle)$ Cagnoli del Teorema establece que:

\begin{equation} \sin \frac{E}{2} = \frac{\sqrt{ \sin s \sin (s-a) \sin (s-b) \sin(s-c)}}{ {2 \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2}}} \end{equation}

Entonces como podemos escribir la función trigonométrica como serie de Taylor:

\begin{eqnarray*} \sin x &=& x - \frac{x^3}{3} + H.O.T. \\ \cos x &=& 1 - \frac{x^2}{2} + H. O. T. \end{eqnarray*}

Al $r \to \infty$ obtenemos un asintótico de la solución mediante la retención de sólo el líder de los términos de orden aquí. Que es

\begin{equation} \lim_{r \to \infty} \sin \frac{E}{2} = \lim_{r \to \infty} \frac{E}{2}. \end{equation} (tenga en cuenta que el radio de $r$ está implícita en estas ecuaciones, además de cuando $r \to \infty$, $E \to 0$ ya que el exceso no será nada una vez que usted obtiene de una esfera a un plano.). Lo mismo para el lado derecho plazo, como $r \to \infty$ encontramos

\begin{equation} \lim_{r \to \infty} \frac{\sqrt{ \sin s \sin (s-a) \sin (s-b) \sin(s-c)}}{ {2 \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2}}} = \lim_{r \to \infty} \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{2} \end{equation} Tenga en cuenta que por muy grande $r$ de los ángulos interiores $a$, $b$, y $c$ llegan a ser muy pequeño y por lo que su semi-perímetro $s$. Es decir, si $r=1$, luego $a$, $b$, y $c$ son al mismo tiempo las longitudes de el triángulo de lados (segmentos de arco) y el centro de ángulos en la esfera. Si queremos aumentar el $r \gg 1$, a continuación, en orden a preservar la el tamaño de los segmentos, se necesita reducir los ángulos por un factor de $1/r$, de modo que el centro ángulos $a$, $b$, y $c$ que la reducción a cero, pero la longitud de los segmentos $a$, $b$, y $c$ permanecen constantes. Por lo tanto existe una dualidad en el significado de los símbolos $a$, $b$, y $c$. Como argumentos del seno y del coseno funciones, que son los ángulos en radianes, pero como longitudes son las longitudes de $r=1$, y que deben ser se conserva como la esfera explota. Lo que yo llamo "pull back" en mi pregunta es esta reducción de $a$, $b$ , y $c$ central de los ángulos de la esfera para mantener las longitudes de arco de $a$, $b$, y $c$ constante.

De los últimos dos ecuaciones encontramos que en el límite de $r \to \infty$:

\begin{equation} E = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}. \end{equation}

que es la fórmula de la Garza. La conversión de aquí a la base x altura/2 debe ser un problema común resueltos en otra parte.