Una especie de desigualdad de Minkowski para integral.

Question

Problema: Vamos a $f$ ser medible no negativa de la función en $[0,1]^2$, e $1\leq r < p < \infty$. A continuación, muestran que $$\left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}f^{r}(x,y)dy\right)^{p/r} \right)^{1/p} \leq \left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}f^{p}(x,y)dy\right)^{r/p} \right)^{1/r}.$$ Sugerencia : Deje $s=\frac{p}{r}$ $F(x) = \int_{0}^{1}f^{r}(x,y)dy$ y considerar adecuada la función $h \in L_{s'}[0,1].$

Mi intento: Por estos consejos, yo tengo este resultado. Para cualquier $h \in L_{s'}[0,1],$ a partir del teorema de Tonelli,

$$\int_{0}^{1}F(x)|h(x)|dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f^{r}(x,y)dy|h(x)|dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f^{r}(x,y)|h(x)|dxdy,$$ y mediante el uso de la Titular de la desigualdad, $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f^{r}(x,y)|h(x)|dxdy \leq ||h||_{s'}\int_{0}^{1}||f^{r}(x,y)||_{s} = ||h||_{s'}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}f^{p}(x,y)dx \right)^{r/p}dy.$$

Sin embargo, ahora no tengo idea de cómo proceder. Sé que $$||F||_{s}^{1/r} = \left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}f^{r}(x,y)dy\right)^{p/r} \right)^{1/p}$$ así que traté de seleccionar los más adecuados $h \in L_{s'}[0,1]$ $||h||_{L_{s'}[0,1]}$ tal que $$\int_{0}^{1}F(x)|h(x)|dx =||F||_{s}.$$ Si nos encontramos con dicha función, de $$||F||_{s} \leq \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}f^{p}(x,y)dx \right)^{r/p}dy$$ así que se realiza mediante la toma de $1/r$-ésima raíz.

Sin embargo no he de encontrar todavía. Si me dieran un paso más por este problema, le agradecería mucho acerca de él.

Answer 1

Sugerencia: elija$h(x)=F(x)^a\left\lVert F\right\rVert_s^b$ para algunos parámetros bien elegidos$a$ y$b$.