Problema: Vamos a f ser medible no negativa de la función en [0,1]2, e 1≤r<p<∞. A continuación, muestran que (∫10(∫10fr(x,y)dy)p/r)1/p≤(∫10(∫10fp(x,y)dy)r/p)1/r. Sugerencia : Deje s=pr F(x)=∫10fr(x,y)dy y considerar adecuada la función h∈Ls′[0,1].
Mi intento: Por estos consejos, yo tengo este resultado. Para cualquier h∈Ls′[0,1], a partir del teorema de Tonelli,
∫10F(x)|h(x)|dx=∫10∫10fr(x,y)dy|h(x)|dx=∫10∫10fr(x,y)|h(x)|dxdy, y mediante el uso de la Titular de la desigualdad, ∫10∫10fr(x,y)|h(x)|dxdy≤||h||s′∫10||fr(x,y)||s=||h||s′∫10(∫10fp(x,y)dx)r/pdy.
Sin embargo, ahora no tengo idea de cómo proceder. Sé que ||F||1/rs=(∫10(∫10fr(x,y)dy)p/r)1/p así que traté de seleccionar los más adecuados h∈Ls′[0,1] ||h||Ls′[0,1] tal que ∫10F(x)|h(x)|dx=||F||s. Si nos encontramos con dicha función, de ||F||s≤∫10(∫10fp(x,y)dx)r/pdy así que se realiza mediante la toma de 1/r-ésima raíz.
Sin embargo no he de encontrar todavía. Si me dieran un paso más por este problema, le agradecería mucho acerca de él.