En primer lugar mis disculpas si esta pregunta se ha hecho antes.
Exposición
Soy nuevo en el aprendizaje de cómo demostrar teoremas y entre los ejercicios de mi material de referencia se pide demostrar la siguiente:
La pregunta original en palabras:
Para cada positivos $x \in \mathbb{Q}$, existe positivo $y \in \mathbb{Q}$ que $y \lt x$.
He traducido y consiguió:
$\forall x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \ \exists y \in \mathbb{Q}_{\gt0}, \ y \lt x$
Aquí está mi intento de prueba.
Si $x \in \mathbb{Q}_{\gt0}$ $\exists y \in \mathbb{Q}_{\gt0}$ tal que $y \lt x$. Supongamos que $\forall y \in \mathbb{Q}_{\gt0}$, $y \geq x$.
Así que si $y \in \mathbb{Q}_{\gt0}$$y \geq x$. Por contrapositivo si $y \lt x$$y \notin \mathbb{Q}_{\gt0}$.
Pero esto no tiene sentido. De ahí nos equivocamos al suponer que $\forall y \in \mathbb{Q}_{\gt0}$.
Pregunta
Estoy teniendo problemas con la parte a partir de esto no tiene sentido. Me miré en el $y \notin \mathbb{Q}_{\gt0}%$ e hizo un poco de la conjetura sobre el hecho de que $y \notin \mathbb{Q}_{\gt0}%$ no se deriva lógicamente de la premisa de que $y \lt x$. Esto en el sentido de que el menor que 'operador' sólo puede ser definida entre dos objetos matemáticos, de la misma clase.
Hay algo que me equivoqué? ¿Esto tiene sentido? Es la prueba completa de todos modos? ¿Cuál sería el correcto prueba?
En términos claros y concisos, estoy tratando de comprender si la prueba es correcta.
Gracias
ACTUALIZACIÓN
Volver a leer de nuevo la cuestión de la material y $y$ se supone que es un racional positivo. Sin embargo, creo que da respuestas a la hora original de esta actualización todavía se aplican.
ACTUALIZACIÓN 2
Con respecto a la respuesta proporcionada por @crf creo que debería proporcionar la prueba de la estrategia. De este punto, si alguien pudiera ver algo mal en la prueba, supongo que no vino de mí haciendo algo mal en mi estrategia. Así que aquí está la prueba de la estrategia. Todo lo que sigue por supuesto, se supone que para ser parte de un proyecto de trabajo.
1. Primero se obtiene la declaración en forma simbólica, con el fin de 'seguridad' transformar la expresión:
$\forall x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \ \exists y \in \mathbb{Q}_{\gt0}, \ y \lt x$
2. Transformar los obtenidos de la declaración en forma condicional:
Sabemos que $\forall x \in S, \ Q(x)$ es equivalente a $(x \in S) \Rightarrow Q(x)$.
Entonces tenemos:
$x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \Rightarrow \exists y \in \mathbb{Q}_{\gt0}, \ y \lt x$
Referencia: Libro de la prueba por Richard Hammack, pp 54, Hecho 2.2 disponible en línea aquí
3. A continuación es un intento de prueba por contradicción de esta instrucción condicional:
Como tal, nuestra hipótesis se convierte en:
$$
x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \\ \forall y \in \mathbb{Q}_{\gt0} \ (y \geq x)
$$
Y esto es equivalente a :
$$
x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \\ y \in \mathbb{Q}_{\gt0} \Rightarrow y \geq x
$$
y la conclusión: va a ser una contradicción
4. Transformar $\forall y \in \mathbb{Q}_{\gt0} \ (y \geq x)$ para obtener su contrapositivo:
Obtenemos como nueva hipótesis:
$$
x \in \mathbb{Q}_{\gt0} \\ y \lt x \Rightarrow y \noen \mathbb{Q}_{\gt0}
$$
Que donde me atraparon y me empezó a adivinar: ¿cómo se $y \notin \mathbb{Q}_{\gt0}$ seguir de $y \lt x$? Yo no podía ver un riguroso contradicción entre eso y locales y consiguió que se quedó atascado!
Gracias por soportar todo esto!
