Resolver cuestiones que parecen ser un puro acierto y error

Question

Considere el siguiente problema:

Hay un número entero en cada cuadrado de un $8 \times 8$ tablero de ajedrez. En cada movimiento puedes añadir $1$ a cada uno de los enteros en un $4\times 4$ ou $3 \times 3$ cuadrado. Siempre se puede obtener una tabla con una entrada divisible por $2$ ?

Este problema puede resolverse mediante la invariabilidad. Pero la cantidad invariante es bastante difícil de inventar. Lo intenté; pero no pude hacerlo. La cantidad invariante, resultó ser el hecho de que la suma de los números en todas las filas excepto la tercera y la sexta era invariante $mod\space 2$ . Después de resolver un par de problemas de este tipo (sin éxito), me empezó a parecer que muchos de estos problemas eran de acierto y error.

No creo que las matemáticas sean esto. Debe haber alguna lógica subyacente en el planteamiento de la solución. En general, ¿cómo podemos enfocar estos problemas matemáticos que parecen ser un puro golpe y prueba?

Answer 1

El invariante tiene que ser algo $\bmod 2$ ya que la pregunta es si la tabla tiene una entrada divisible por $2$ . Tiene que ser algo que sea lo mismo si un $3\times 3$ ou $4 \times 4$ cuadrado que se elija y la ubicación en la que se encuentre. Algún tipo de suma debería funcionar, pero si se suman todos los cuadrados entonces $3\times 3$ y $4 \times 4$ cuadrados añaden una paridad diferente. Filas $3,6$ son un subconjunto de los cuadrados que tienen un número impar de cuadrados que se cruzan $3\times 3$ s y un número par de intersección $4\times 4$ s.

Si los problemas no implicaran ninguna prueba de acierto y hubiera un método que garantizara su funcionamiento todas las veces, no serían tan divertidos.