La topología débil en un espacio vectorial normado $X$ es la topología más débil que hace que todos los funcionales lineales acotados $x^* \in X^*$ sean continuos.
Si un subconjunto $C$ de $X$ es compacto para la topología débil, entonces $C$ está acotado en norma.
¿Cómo se demuestra este hecho?
El primer punto clave es que un elemento de $x$ puede ser identificado con un funcional lineal de norma $\|x\|$ en el dual $X^*$. De hecho, se sigue de Hahn-Banach que existe $x^*\in X^*$ tal que $x^*(x)=\|x\|$ con $\|x^*\|=1$. Por lo tanto, denotando por $e_x$ el funcional lineal (llamado evaluación puntual) $e_x:x^*\longmapsto x^*(x)$ en $X^*$, tenemos $$ \|e_x\|=\sup_{\|x^*\|\leq 1}|e_x(x^*)|=\sup_{\|x^*\|\leq 1}|x^*(x)|=\max_{\|x^*\|\leq 1}|x^*(x)|=\|x\|. $$ Esto proporciona la incrustación isométrica canónica de $X$ en el doble dual $X^{**}.
El segundo punto clave es que $X^*$ es siempre un espacio de Banach. Por lo tanto, podemos usar el principio de acotación uniforme (Banach-Steinhaus) para funcionales lineales acotados en $X^*$, es decir, en $X^{**}$.
Si $C$ es débilmente compacto en $X$, entonces la imagen de $C$ bajo cada $x^*\in X^*$ es compacta, por lo tanto, acotada, en el campo base. Simplemente porque $x^*$ es continuo para la topología débil por definición de esta última, y porque la imagen continua de un espacio compacto es compacta. Se sigue que $$ \sup_{x \in C}|x^*(x)|=\sup_{x \in C}|e_x(x^*)|<\infty \qquad \forall x^*\in X^*. $$ Por el principio de acotación uniforme aplicado a $\{e_x\,;\,x\in C\}$, esto implica que $$ \sup_{x\in C}\|x\|=\sup_{x\in C}\|e_x\|<\infty $$ lo que dice precisamente que $C$ está acotado en norma.
Nota: dado que la topología débil es Hausdorff, obtenemos que débilmente compacto implica débilmente cerrado + acotado en norma. La conversa es falsa. Por ejemplo, la bola unitaria cerrada de $c_0$ es débilmente cerrada (el cierre débil de un conjunto convexo es igual al cierre en norma) y acotada en norma, pero no débilmente compacta (la bola unitaria cerrada de un espacio vectorial normado $X$ - en realidad automáticamente un espacio de Banach en ambos casos - es débilmente compacta si y solo si $X$ es reflexivo). Las cosas son mejores con la topología débil* en el dual de un espacio de Banach $X$: débil*-compacto es equivalente a débil*-cerrado + acotado en norma.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
