No son comunes las notaciones que se puede utilizar, que hacen que sea muy fácil saber lo que es fijo y aleatorio, pero la ecuación que has publicado no adoptar una notación. En su caso no hay manera de saber, a excepción de los residuos (que son muy comúnmente denotado con $e$ y ya está indexada de la misma manera como la variable de respuesta, esto hace que sea más probable que es un tema de nivel residual). Incluso la descripción debajo de las variables no ayuda, así que tienes que confiar en el texto que sigue a partir de ahí, donde se busca que $HYS_l$ $c_m$ también son aleatorios !
Aquí es una sencilla notación esquema: denotar los efectos fijos con $X_1$, $X_2$ y $X_3 ...$ y el de efectos aleatorios con letras minúsculas: $e$ (típicamente reservado para el tema de los residuos), $u$$v...$.
De manera aleatoria se intercepta con el modelo de 2 $X$ variables y una respuesta $Y$ podría ser, simplemente, escribe como
$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + u + e$
donde $u$ son aleatorios, intercepta y $e$ son el tema de los residuos.
Para ser más explícitos, este tipo de modelo se presenta a menudo con la indexación: las Observaciones en cada grupo se indizan con $i$ $j$ en referencia a la $i$th tema en el $j$th grupo, donde $i$ rangos de $1$ $n_j$ $j$rangos de $1$ $J$donde $J$ es el número total de grupos.
Así tenemos
- $Y_{ij}$ es la variable de respuesta para la $i$th tema en el $j$th clúster.
- $X_{1ij}$ es el valor de $X_1$ $i$th tema en el $j$th clúster.
- $X_{2ij}$ es el valor de $X_2$ $i$th tema en el $j$th clúster.
A continuación, el anterior al azar intercepta modelo es
$$ Y_{ij}= (\beta_0 + u_{0j})+\beta_1 X_{1ij} +\beta_2 X_{2ij} +e_{ij},
$$
Ya que cada sujeto tiene su propia residual, $e$ son indexados por $e_{ij}$, y dado que cada grupo tiene su propia residual, estos son indexados por $u_{0j}$ (donde el $0$ en el subíndice corresponde al cero de la $\beta$ subíndice porque $u_{0j}$ es el azar interceptar y $\beta_0$ es el mundial de intercepción).
Utilizando esta notación podemos introducir fácilmente un azar pendiente para $X_1$ que será simplemente otro grupo de nivel residual, $u_{1j}$
$$ y_{ij}= (\beta_0 + u_{0j})+(\beta_1 + u_{1j}) X_{1ij} +\beta_2 X_{2ij} +e_{ij},
$$
y de nuevo por un azar de la pendiente de ( $u_{2j}$ ) $x_2$
$$ Y_{ij}= (\beta_0 + u_{0j})+(\beta_1 + u_{1j}) X_{1ij} +(\beta_2 +u_{2j}) X_{2ij} +e_{ij},
$$
Nota cómo los subíndices en la beta-coeficiente de coincidir con los de los efectos fijos $X_1$ $X_2$ y el de efectos aleatorios $u_{0j}$ $u_{1j}$
Podemos ampliar aún más esta con la interacción, más $X$ variables y más "niveles". Sin embargo, debe ser evidente que si vamos a hacer eso, entonces este tipo de notación rápidamente se convierte en difícil de trabajar, por lo que hay 2 formas comunes de proceder.
La primera es escribir:
\begin{align}
\\
Y_{ij}&= \beta_{0j}+ \beta_{1j} X_{1ij} + \beta_{2j}X_{2ij} +e_{ij}
\\ \textrm{where}
\\ \beta_{0j}&=\beta_0 + u_{0j}
\\ \beta_{1j}&=\beta_1 + u_{1j}
\\ \beta_{2j}&=\beta_{2} +u_{2j}
\end{align}
y esto es generalmente el enfoque adoptado por el multinivel y jerárquica lineal de modelado de mundos (véase, por ejemplo, el muy famoso libro de Snjders y Bosker
Edit: Para abordar el comentario, en el caso de una interacción que iba a escribir:
$$
Y_{ij}= \beta_{0j}+ \beta_{1j} X_{1ij} + \beta_{2j}X_{2ij}+ \beta_{3}X_{1ij}X_{2ij} +e_{ij}
$$
donde en este caso sólo el efecto fijo de la interacción es el modelo. Fácilmente podríamos incluir al azar pendiente para la interacción, en la misma forma que lo hicimos para $X_1$$X_2$.
Una segunda manera es trabajar en forma matricial:
$$
\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}
$$
donde $\mathbf{y}$ es la respuesta vector, $\mathbf{X}$ es un diseño de la matriz para los efectos fijos ($\mathbf{\beta}$) y $\mathbf{Z}$ es un bloque-diagonal diseño de la matriz para el de efectos aleatorios ($\mathbf{b}$).
Esto es muy popular en la de efectos mixtos mundo (ver por ejemplo el libro de Demidenko). Para ver cómo funciona la notación, podemos partición de las matrices para cada grupo:
$$\begin{bmatrix}
\mathbf{y_1}
\\ \mathbf{y_2}
\\ \vdots
\\ \mathbf{y_J}
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
X_1 \\
X_2 \\
\vdots \\
X_J
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\beta
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\
\vdots & & \ddots & \\
0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J}
\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_J
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
e_1 \\
e_2 \\
\vdots \\
e_J
\end{bmatrix}$$
cuando, en el caso de la modelo sin interacción, pero con aleatoria de pistas para los $X_1$$X_2$,
$\mathbf{y_j} = \begin{bmatrix}
y_{1j}\\
y_{2j}\\
\vdots \\
y_{n_jj}
\end{bmatrix},$
$\mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix}
1 & X_{11j} & X_{21j}\\
1 & X_{12j} & X_{22j}\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
1 & X_{1n_jj} & X_{2n_jj}
\end{bmatrix}, e_j = \begin{bmatrix}
e_{1j}\\
e_{2j}\\
\vdots \\
e_{n_jj}
\end{bmatrix},$
$\beta = \begin{pmatrix}
\beta_0 \\
\beta_1 \\
\beta_2
\end{pmatrix}$ and $ b_j=\begin{pmatrix}
u_{0j}\\
u_{1j} \\
u_{2j}
\end{pmatrix}$
Tenga en cuenta que para este modelo tenemos que $\mathbf{X_j}=\mathbf{Z_J}$ porque hemos de efectos aleatorios para los 3 efectos fijos (intercept, $X_1$$X_2$). Si tuviéramos aleatoria de pistas para sólo$X_1$, entonces tendríamos:
$\mathbf{Z_J}=\begin{bmatrix}
1 & X_{11j} \\
1 & X_{12j} \\
\vdots & \vdots \\
1 & X_{1n_jj}
\end{bmatrix}$
y si tuviéramos al azar intercepta sólo tendríamos:
$\mathbf{Z_J}=\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{bmatrix}$