Prueba de que $(t_1, \dots, t_r) \mapsto \sum^{r}_{i=1} | t_i - \alpha_i|^p$ es continua - Problema con la desigualdad

Question

Bounty Edit: Ya he editado la pregunta después de algunos comentarios importantes. Las preguntas que tengo están resaltadas debajo de la supuesta prueba. Cualquier comentario o respuesta es muy bienvenida.

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Así, acabo de encontrar una demostración en un libro que se basa en la continuidad de la siguiente función $\phi : \mathbb{R}^r \to \mathbb{R}$ tal que

$$(t_1, \dots, t_r) \mapsto \sum^{r}_{i=1} |t_i - \alpha_i|^p,$$ para $\alpha_i$ arbitraria, y $1 \leq p < \infty$ .

Así que aproveché la ocasión para entrenarme en la demostración de la continuidad y el uso de desigualdades (soy bastante malo en ambas cosas).

Aquí está la prueba: la desigualdad que me ha parecido más problemática (en el sentido de que no estoy seguro de cómo la he conseguido), es la azul.

Prueba: Fijar un $p$ con $1 \leq p < \infty$ . Para mayor comodidad, dejemos que $\mathbf{t} := (t_1, \dots, t_r)$ y supongamos que $\mathbf{t}^n \to \mathbf{t}$ . Es decir, para cada $\varepsilon >0$ existe un $M\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq M$ , $d_p (\mathbf{t}^n,\mathbf{t})< \varepsilon$ . Sea $\varepsilon >0$ sea arbitraria, y dotar a $\mathbb{R}^r$ . H $$d_p (\mathbf{t}^n,\mathbf{t})< \varepsilon \Longrightarrow | \mathbf{t}^n - \mathbf{t}| < \varepsilon \Longrightarrow \bigg( \sum^r | t_{i}^n - t_i|^p \bigg)^{\frac{1}{p}} < \varepsilon \Longrightarrow \sum^r | t_{i}^n - t_i|^p < \varepsilon^p .$$ Así, tenemos la siguiente cadena de desigualdades que prueba la continuidad de $phi$ : \begin{align} d_p (\phi(\mathbf{t}^n),\phi(\mathbf{t})) & = \bigg( \sum^r | t_{i}^n - \alpha_i|^p - \sum^r | t_{i} - \alpha_i|^p \bigg)^{\frac{1}{p}} \\ & = \bigg( \sum^r | t_{i}^n - \alpha_i|^p - | t_{i} - \alpha_i|^p \bigg)^{\frac{1}{p}}\\ & \color{blue}{\leq \sum^r ( t_{i}^n - \alpha_i) - ( t_{i} - \alpha_i) \hspace{1cm}(*)} \\ & = \sum^r ( t_{i}^n - t_{i})\\ & = \sum^r | t_{i}^n - t_{i}|^p < \varepsilon^p. \end{align}

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Preguntas:

1. ¿Es correcto?
   Escribí la prueba de nuevo (como puedes ver en la edición de la pregunta) porque el comentario de Surb sobre una desigualdad en la prueba anterior me hizo pensar. En realidad, no estoy seguro de haber solucionado el problema. Efectivamente, la desigualdad azul $(*)$ en el texto es la que me hace pensar que hay algo mal ahí (es decir, cómo llego ahí).
2. Si la prueba no es correcta, ¿cómo podemos demostrar este resultado siguiendo las mismas líneas que he utilizado aquí?
   ¿Cómo funciona una prueba de este tipo cuando es correcta?
   Es cierto que no es la forma más eficiente, como señala el comentario de Ilya más abajo, pero realmente me gustaría ver cómo obtener el resultado mediante cadenas de desigualdades.

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Gracias por su tiempo.

Answer 1

Aquí hay muchos errores:

1. $d_p$ es una distancia en $\Bbb R ^r$ pero lo usas en $\Bbb R$ cuando escriba $d_p (\phi ({\bf t}^n) , \phi ({\bf t}))$
2. las líneas sobre la desigualdad azul son ciertamente falsas: la cantidad entre paréntesis puede ser negativa, y si $p=2$ se obtienen resultados imaginarios; esto se puede solucionar con un módulo
3. para llegar a la línea azul, se utiliza esencialmente que $\sum (x_i - y_i)^p = \sum (x_i ^p - y_i ^p)$ lo cual es obviamente erróneo
4. por debajo de la desigualdad azul se obtiene $\sum (t^n_i - t_i)$ que puede ser negativo, en cuyo caso se obtiene una distancia negativa (en el lado izquierdo)
5. en la última línea pones un módulo y una potencia $p$ de la nada, lo que es descaradamente erróneo

No voy a buscar más errores, cualquiera que se mencione es suficiente para invalidar tu razonamiento.

Respecto a tu segunda respuesta, el problema es mucho más sencillo de lo esperado y se reduce a descomponer tu función en una composición de continuas elementales:

• las funciones ${\bf t} \mapsto t_i$ son todos continuos
• es continua, por lo que todas las ${\bf t} \mapsto t_i - \alpha _i$ son continuos
• el módulo es continuo, por lo que todos ${\bf t} \mapsto |t_i - \alpha _i|$ son continuas
• son continuas, por lo que todas ${\bf t} \mapsto |t_i - \alpha _i|^p$ son continuos
• de nuevo, la suma es continua, por lo que ${\bf t} \mapsto \sum \limits _{i=1} ^r |t_i - \alpha _i|^p$ es continua
• de nuevo, las potencias son continuas por lo que ${\bf t} \mapsto \left( \sum \limits _{i=1} ^r |t_i - \alpha _i|^p \right) ^{\frac 1 p}$ es continua.

Por lo tanto, su función es continua como composición de funciones continuas elementales.