¿Se pueden generalizar los resultados sobre formas cuadráticas a arbitrarias polinomios de grado $2$?

Question

Me encontré con dos teoremas de tratar con la cuestión de si la forma cuadrática puede representar cada número entero positivo (más Detalles aquí : https://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems )

Pero hay varias restricciones. Si he entendido bien, el teorema sólo puede ser aplicado para polinomios homogéneos de grado $2$. Por otra parte, la forma cuadrática debe ser positiva definida.

Pueden los teoremas se pueden generalizar a cualquier código polynmials de grado $2$ ?

En otras palabras, podemos determinar, si una ecuación como $$x^2-xy+y^2-2yz+2z^2-3x+5y+6z-8=n$$ has an integer solution for all positive integers $n$ ?

Yo no requieren para encontrar todas las soluciones, o para decidir si hay soluciones. Sería suficiente para encontrar una $n$ para el cual no hay solución o para mostrar que hay una solución para cada $n$.

Answer 1

Esta es una de las muchas preguntas de teoría de números que tiene una simple declaración, sino que es potencialmente muy difícil de contestar. En la actualidad no está claro cómo generalizar la analítica de la maquinaria que hace que las cosas sean como los 290-teorema se puede demostrar. En particular, la teoría de las formas modulares aquí juega un papel fundamental, y si bien es cierto que hay una forma modular conectado a un polinomio cuadrático, no es especialmente bonita fórmula de la aportación de las Eisenstein de la serie.

No sé de mano de un polinomio cuadrático para los que no se sabe si representa cada entero positivo, pero es muy difícil para Anna Haensch y Ben Kane la prueba (en este documento) que cada suficientemente grande entero positivo es la suma de tres $m$-gonal números si $m \not\equiv 2 \pmod{3}$$4 \nmid m$.

Hay ternario cuadráticas formas cuya representación comportamiento aún no entendemos. En particular, no se sabe si todo número impar se puede escribir en la forma $x^{2} + xy + 5y^{2} + 2z^{2}$ (aunque he demostrado en este trabajo que se hace, suponiendo que la generalización de la hipótesis de Riemann).