Dejo $M$ denotar la libre conmutativa monoid generados por algunos elementos de la $x_1,\dots, x_n$. Supongamos también que $R$ es un anillo conmutativo. Entonces puedo construir el libre álgebra de $M$$R$, denota $R[M]$.
Recordemos que $R[M]$ es entonces el conjunto de asignaciones $f\colon M\to R$ tal que $f(m)\neq 0$ por sólo un número finito de $m\in M$. A continuación, $+$ $\cdot$ están dadas por $(f+g)(m)=f(m)+g(m)$, $(fg)(m)=\sum_{pq=m}f(p)q(p)$, $0(m)=0$, y $1(1)=1$ $1(m)=0$ si $m\neq 1$. Por otra parte, $R[M]$ tiene un sub-anillo isomorfo a $R$ asociando $r\in R$ $r'\in R[M]$ tal que $r'(1)=r$ $r'(m)=0$ lo contrario. También tiene un submonoid de la multiplicativo monoid isomorfo a $M$ asociando $m\in M$ $m'\in R[M]$ $m'(m)=1$ $m'(n)=0$ lo contrario.
Visualización de $M$ $R$ como $R[M]$, yo sé que cualquier elemento de a $R[M]$ puede ser escrito como $\sum r_im_i$. Así que tengo curiosidad, es $R[M]$ isomorfo a $R[x_1,\dots,x_n]$? A mí me parece que los elementos de los conjuntos se ven mas o menos el mismo, como hace el $+$ operación, pero no estoy seguro de si en realidad son isomorfos o no. Gracias por la explicación.
