¿Es útil la transformada de Mellin para resolver ecuaciones diferenciales?

Question

La transformada de Mellin se define como: $$F(\mu)=\int_0^\infty f(x)x^{\mu-1}dx$ $ La derivada de la transformada de Mellin es:$$ F'(\mu)=-(\mu-1)F(\mu-1) Aplicando esta propiedad, por ejemplo a la ecuación de Bessel: $$x^2 y''+xy'+(x^2-\nu^2)y$ $ podemos transformarla en el ecuación de diferencias complejas:$$ Y(\mu + 2) = ±(\mu − \nu)(\mu + \nu)Y(\mu) donde$Y(\mu)$ es la transformada de Mellin de$y(x)$.

¿Es este método útil en general para resolver EDO? Gracias

Answer 1

Aquí damos un ejemplo sencillo del uso de la Mellin transformar para resolver una ecuación diferencial.

Considere la ecuación diferencial $$\begin{equation*} f'(t) + f(t) = 0.\tag{1} \end{ecuación*}$$ En la toma de Mellin de transformación nos encontramos con que la complejo correspondiente diferencia de la ecuación es $-(s-1)\phi(s-1) + \phi(s) = 0$, o $$\phi(s+1) = s \phi(s).$$ Esta es la relación de recurrencia para la función gamma, por lo que $$\phi(s) = \Gamma(s)$$ hasta un total factor numérico.

La solución a (1) debe ser $$\begin{equation*} f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\, t^{-s} \Gamma(s),\tag{2} \end{ecuación*}$$ donde $c$ recoge algunos adecuado evitando el contorno de los polos de $\Gamma$. Recordemos que $\Gamma$ es meromorphic con simple pol $0, -1, -2, \ldots$. La existencia de la inversa de la transformación (2) puede ser demostrado por el atractivo para el comportamiento asintótico de $\Gamma$, $$|\Gamma(x+i y)| \sim \sqrt{2\pi} |y|^{x-1/2} e^{-|y|\pi/2},$$ en el límite de $|y|\to \infty$.

Elegimos $c>0$. Con esta elección de contorno de la integral (2) es el Cahen-Mellin integral. Empujando el contorno de la izquierda, recoger todos los polos de la función gamma. Para calcular el residuo, recordar que cerca de $s=-n$ $$\Gamma(s) = \frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{s+n} + O(1).$$ Esta es una directa consecuencia de la relación de recurrencia para $\Gamma$. Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} f(t) &=& \sum_{n=0}^\infty \mathrm{Res}_{s=-n} t^{-s} \Gamma(s) \\ &=& \sum_{n=0}^\infty t^{n}\frac{(-1)^n}{n!} \\ &=& e^{-t}. \end{eqnarray*}$$