Representaciones de mentira del grupo de simetrías en el espacio de Hilbert

Question

Tengo algunos problemas de comprensión de Hilbert representaciones (por ejemplo) el estándar libre de la partícula cuántica

Por un lado, podemos representar Heisenberg álgebra [Xi,Pj]= i delta ij en el espacio de cuadrado integrable funciones, por ejemplo, en R^3, con la X operador representado como la multiplicación y la P operador como yo veces el gradiente. Por otro lado, también representamos a la de Galileo, de la Mentira de grupo en el mismo espacio de Hilbert

Así que mi pregunta es : es obvio que estas dos representaciones son "compatibles"? Son los obstáculos con los que uno puede obtener por pedir que las Hilbert debe ser la representación de ambos se encuentran Heisenberg Mentira álgebra + Galileo Mentira álgebra (en particular, puesto que P es tanto el impulso en [X,P] = i, y el generador de las traducciones de la galilea grupo)?

Por ejemplo, podría elegir para representar QM en un determinado intervalo de tiempo; entonces se rompería la traducción de la invariancia. Así que venir primero? Hacemos Hilbert como una representación de Heisenberg, y luego imponer cierta simetría, o construir el espacio de Hilbert, como una representación del grupo de simetría y, a continuación, definir X a través de [X,P]= i ?

Gracias por la ayuda!

EDIT : Más específicamente. En el álgebra de nivel, podemos definir los generadores de la Galilea Mentira grupo y sus conmutadores; H tiempo de traducción, P para el espacio de la traducción, G galileo aumenta, y la L de rotaciones. Entonces, podemos definir la posición del operador X = -G/m + t P/m; y obtenemos [X,P] = -[G,P]/m, que es cero a menos que se le agregue una central de carga para el galileo grupo (la masa), caso en el cual de alguna manera nos derivan [X,P]=i

Al revés, tenemos algunas "dado por dios" X y P, [X,P]=i, elegimos X para representar el espacio, y luego construir los generadores de P para las traducciones, L= X cuña P, G = t P - m X, H=P^2/2m y nosotros el álgebra de Lie (extended) de galileo grupo (con la masa como un centro de carga).

En ambos casos, me parece que este insufficent, para la elección del espacio de Hilbert en el que estos operadores debe actuar no ha sido especificado, y no triviales cosas pueden aparecer en finito de intervalos o semi-infinita de intervalos

Answer 1

La central unitaria de representación de Galileian grupo ya incluye una representación de Weyl-Heisenberg grupo. El impulso generador de $K$ y el generador de traducciones $P$ satisfacer $[K,P]= imI$ donde $m$ es la masa del sistema. Por lo tanto, el subgrupo cuyos generadores son $m^{-1}K, P, I$ es el quería unitaria representación de Weyl-Heisenberg grupo. Como cuestión de hecho, $X:= m^{-1}K$ es la posición observable (la posición del centro de masa para un sistema compuesto).

Si usted trata con QM en un intervalo finito, no hay ninguna (fuertemente continuo) representación de Weyl-Heisenberg grupo. Esto es porque, debido a la Piedra-teorema de von Neumann, estas representaciones sólo puede ser construido a lo largo de toda la recta real. En la práctica, mirando a la representación de álgebra de la Mentira, la formal operador $P$ sobre un segmento no es (esencialmente) uno mismo-adjoint o, lo que es, pero en un dominio donde la $[X,P]= iI$ no posee.