En términos populares simples, a partir de lo que sabemos actualmente en cosmología y física, si es efectivamente infinito debe tener una cantidad infinita de materia y energía. La única salida es que la Relatividad General (RG) no sea válida en el espacio macroscópico, o que el universo observable en el que vivimos y vemos sea una parte muy especial de todo el universo.
Más correctamente, si el universo es infinito (correctamente significa ilimitado) tiene que tener una cantidad infinita de masa/energía, si nuestra comprensión científica del universo es correcta, usamos los términos correctamente, y nuestro universo tiene una topología llamada simple o trivial (más sobre esto abajo, no es complicado).
Sin límites significa, técnicamente, que para cualquier distancia d siempre se pueden encontrar 2 puntos que estén más separados que d. Es otra forma de decir que es infinito, pero es más preciso. Además, para que quede claro, normalmente se habla de no limitado espacialmente, pero también se puede hablar de no limitado temporalmente. En el caso de nuestro universo, la gente suele preguntar si es espacialmente infinito, es decir, sin límites.
El caso en el que uno se refiere a, digamos, una esfera 3D como universo espacial, no se considera ilimitado, y no es ilimitado según la definición técnica anterior. Sin embargo, se considera que la esfera 3D no tiene bordes, no tiene aristas, ya que se puede viajar en cualquier dirección en la esfera 3D sin caerse (no hay bordes). La esfera 3D está acotada y, por tanto, se considera finita, pero no tiene bordes. Un universo finito o acotado tiene un volumen finito, y por tanto debe tener una masa/energía finita.
Consulte las posibles clasificaciones del universo y la definición de los términos en https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe . Es una descripción muy clara y fácil de entender de las opciones
Si no tiene límites, es decir, es infinito, también debe tener un volumen infinito, y entonces también debe tener una masa/energía infinita si es como nuestro universo. Las observaciones y la suposición matemática es que tiene, a gran escala, regiones espaciales uniformes, es decir, es espacialmente homogéneo. Más adelante se habla de esto para nuestro universo, y de lo que ocurre si esto no es cierto. Así, con esas observaciones nuestro universo tendría una masa/energía infinita si no tiene límites, es decir, es infinito.
Obsérvese, a partir de la referencia de la Wikipedia más arriba, que si el universo es plano o abierto, podría estar acotado o no (finito o infinito). Y si su topología (significado en la siguiente frase) es simplemente conectada o tiene la topología euclidiana (llamada topología simple o trivial, porque es a la que estamos acostumbrados), debe ser infinito. Hay topologías no triviales que son geometrías planas o abiertas que están acotadas: para las planas, un ejemplo es el toro 3D, otro la botella de Klein 3D. Para las abiertas, las geometrías son hiperbólicas y también podrían estar acotadas si no son simplemente conectadas, y hay un gran número de posibilidades no todas bien comprendidas. Si entonces el universo es finito, acotado. Se requiere una topología "extraña", es decir, no "simple", es decir, con múltiples conexiones. No hemos observado ninguna evidencia de nada en el universo (y ha habido algunas búsquedas, algunas en curso) que indique que la topología del universo no es la topología simple a gran escala (por ejemplo, no hemos visto ejemplos de galaxias que vemos en una dirección que también podemos ver en otra dirección), pero podría ser el caso a una escala mayor que la que vemos. Ninguna física impide que sea así. Simplemente no hemos visto ninguna topología extraña.
Entonces, ¿qué significa SI es como nuestro universo? Significa que se ajusta a lo que observamos, con las incertidumbres que tenemos, y a la Relatividad General (la mejor teoría que tenemos ahora sobre cómo la materia/energía curva el espacio-tiempo). Observamos nuestro universo, por lo que podemos ver, como aproximadamente uniforme, es decir, espacialmente homogéneo e isótropo. Las estadísticas son bastante buenas, a gran escala (es decir, tomando tamaños espaciales de 100-200 Mpseg o más), con pequeñas variaciones. Como pensamos, y no hay ninguna razón científica para que no sea así, que no vivimos en una parte especial del universo, decimos que todo el universo es como lo que vemos, es decir, homogéneo e isótropo. Fíjate que no suponemos que sea infinito o finito. Eso viene a continuación.
Lo infinito o finito está relacionado, pero no es lo mismo, con la forma del universo, y concretamente con la curvatura del espacio (es decir, la curvatura espacial). En concreto, podemos determinar la curvatura espacial del universo a partir de las observaciones de la densidad de masa/energía, la expansión del universo y la Relatividad General (RG), que relaciona la geometría (es decir, la curvatura) con la densidad de masa/energía. La RG derivó que la única solución posible para geometrías espaciales homogéneas e isótropas es la llamada solución de Robertson-Walker. Junto con las mediciones de la expansión y la masa/densidad, y algo más de física, obtenemos la solución FLRW (Friedman-Lamaitre-Robertson-Walker), y el modelo Lambda CDM. Las últimas mediciones indican que el universo es plano, dentro de la precisión de las mediciones. Resulta que las incertidumbres de las mediciones aún permiten una curvatura positiva o negativa muy pequeña. Vea el modelo en https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda-CDM_model .
Así que, lo más probable es que nuestro universo sea plano e infinito, o abierto con una curvatura muy pequeña y también infinito, o cerrado con una curvatura pequeña y muy muy grande, pero finito y con materia/energía finita
Si es infinita la masa/energía es también infinita, si el universo a gran escala es efectivamente uniforme (homogéneo e isotrópico) en todas partes, si no vivimos en una parte muy especial del universo (lo que las mediciones han demostrado que no es así, hasta el universo observable a 48.000 millones de años luz) y fuera de lo que vemos las cosas son muy diferentes.
Es posible que nuestro universo no sea uniforme: sí, todo es posible, pero si el universo es topológicamente trivial, es muy difícil encontrar una solución a las ecuaciones de la RG y a la física que conocemos que se parezca a la nuestra hasta x muchos miles de millones de años luz, pero que luego cambie y se convierta, digamos, en espacio vacío. Tu pregunta sobre una solución sin masa allá afuera, pero con FLRW donde podemos ver, puede ser posible, pero también puede no serlo. Ciertamente la solución de Schwarzschild no lo hace, y no podrías unirlas porque nuestro universo se expande en todas partes y Schwarzschild no lo hace en ninguna. Las soluciones a las ecuaciones de la RG pueden no ser posibles si supones un espacio totalmente vacío en algún lugar y fuera. Pero tengo que admitir que no he visto un teorema que demuestre que es imposible, sólo estoy de acuerdo con @tfb en que es poco probable
Si el universo tuviera un centro y un final (es decir, estuviera delimitado o tuviera un borde, y fuera esféricamente simétrico a gran escala -que es lo que significa tener un centro-), existe un teorema de Birkhoff según el cual cualquier "solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío es necesariamente isométrica con respecto a un subconjunto de la solución de Schwarzschild máximamente extendida". Esto significa que la región exterior alrededor de un objeto gravitatorio esféricamente simétrico debe ser estática y asintóticamente plana. Véase la cita en, y más descripción en https://en.wikipedia.org/wiki/Spherically_symmetric_spacetime
Y por supuesto eso no puede ser porque nuestro universo no es estático, lo vemos en expansión. Podemos ver que se expande hasta cerca de su origen, hace unos 13.800 millones de años. Vemos el CMB, la radiación cósmica de fondo, procedente de unos 380.000 años después del Big Bang, y vemos la prueba de la expansión a partir de los desplazamientos al rojo de la luz de las galaxias emitidas en el pasado y a través de la expansión.
Así que te será difícil encontrar alguna prueba que haga posible lo que dices.
Su pregunta sobre la posibilidad matemática es que probablemente sí, si se ignoran nuestras observaciones y la RG. Sí, entonces podría existir tal espaciotiempo, incluso podría ser una variedad diferenciable (que es parte de la definición matemática), pero en cuanto se imponen las restricciones de la observación y la RG probablemente no sería posible, por las muchas razones expuestas en esta respuesta.
