¿Cómo calcular $\frac{d}{dx}\left(\left(1+x^2\right)^x\right)$?

Question

Esto es lo que funcionó hacia fuera:

Que $y = (1 + x^2)^x$ y que $a = 1 + x^2$

Entonces, por la regla de la cadena de diferenciación:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{dx} = a^x\cdot ln(a) \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = (1 + x^2)^x \cdot ln(1 + x^2) \cdot 2x $

Pero cuando intento comprobar el resultado en WolframAlpha, me sale este.

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

El problema es, que $y$ no depende sólo de $a$, pero también en $x$. Tenga en cuenta que usted tiene $y = a^x = g(a,x)$ $y$ no es una función de $a$, usted tiene $g(a(x), x)$, no $g(a(x))$, como usted debe tener para una aplicación de la variable regla de la cadena.

Lo que puedes hacer son dos cosas diferentes: (1) Si usted sabe la multivariable regla de la cadena, se puede utilizar, dando $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\partial y}{\partial a}\frac{da}{dx} + \frac{\partial y}{\partial x} $$

(2) Si usted no lo sabe (o no están autorizados a usar de todos modos), y luego mirar a $\log y = x\log(1+x^2)$. Por el (una sola variable) de la cadena y la regla del producto, se obtiene $$ \frac{y'}y = (\log y)' = \bigl(x\log(1+x^2)\bigr)' = \log(1 + x^2) + \frac x{1+x^2} \cdot 2x $$

Answer 2

El error aquí es que usted ha utilizado una fórmula donde $a$ se toma para ser una constante. Así que si $a$ es una variable como en su caso, se puede usar esa fórmula ya.

Mejor usar esto: $$y=(1+x^2)^x$ $ $$\ln y=\ln (1+x^2)^x$ $ $$\ln y=x\ln (1+x^2)$ $ $$\frac{y'}{y}=\ln (1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}$ $ $$y'=(1+x^2)^x\left(\ln (1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}\right)$ $

En caso de que desea sustituir, utilizar la regla de la cadena multivariable como martini.

Answer 3

Creo que tienes un mal pensamiento acerca de la composición de la hiciste! :) Más general de la forma de la función es

$$y = {\left[ {f(x)} \right]^x}$$

Puedes escribir esto en forma de una composición? Yo no lo creo! La única manera es tomar la derivada directamente!!! Por lo tanto, usted puede obtener

$$\eqalign{ & \ln y = x\ln f(x) \cr y {{y'} \over y} = \ln f(x) + x{{f'(x)} \over {f(x)}} \cr y y' = \left( {\ln f(x) + x{{f'(x)} \over {f(x)}}} \right)y \cr & \,\,\,\,\,\, = \a la izquierda( {\ln f(x) + x{{f'(x)} \over {f(x)}}} \right){\left[ {f(x)} \right]^x} \cr} $$

Answer 4

Para calcular $\frac{d}{dx}\left(\left(1+x^2\right)^x\right)$ entonces esta expresión se puede colocar en el formulario\begin{align} \frac{d}{dx} \left(\left(1+x^2\right)^x\right) &= \frac{d}{dx}\left[ e^{x \, \ln(1+x^2)} \right] \ &= e^{x \, \ln(1+x^2)} \, \left[ x \, \frac{d}{dx} \ln(1+x^2) + \ln(1+x^2) \right] \ &= (1+x^2)^{x} \, \left[ \frac{2 \, x^2}{1+x^2} + \ln(1+x^2) \right] \end {Alinee el}

Answer 5

La regla de que usted está usando sólo es válida para la constante de $a$.

Es cierto en general para las funciones de $f$ $g$ $x$ que

$$\left(f^g\right)' = gf^{g-1}\cdot f' + f^g\log f\cdot g'$$ (se puede derivar esto mediante la adopción de registros y, a continuación, la diferenciación, y la reorganización de los resultados).

Addendum: yo siempre animo a mis estudiantes a memorizar este. En realidad es muy fácil, si usted mira las dos piezas que se suman. La primera pieza $$\underbrace{gf^{g-1}}\cdot f'$$ is like the rule for constant exponents, and the second piece $$\underbrace{f^g\log f}\cdot g'$$ is like the rule for constant bases. If either $f$ or $g$ is really constant, then the corresponding $f'$ or $g'$ es cero y por lo que uno de los términos desaparece, dejándole con la fórmula clásica de la base constante o constante exponente.

Anexo 2: Aquí es la simple derivación. Buscamos $y'$, dado que el $y=f^g$ (aquí se $f$ $g$ son funciones de la $x$ y el "prime" denota la diferenciación con respecto a $x$). $$y=f^g$$ $$\log y = g\cdot\log f\tag{take logs}$$ $$(\log y)' = (g\cdot\log f)'\tag{take deriv.}$$ $$\frac{y'}y = (g\cdot\log f)'\tag{deriv. of $\log y$}$$ $$\frac{y'}y = g\cdot(\log f)' + g'\cdot\log f\tag{product rule}$$ $$\frac{y'}y = g\cdot\left(\frac{f'}f\right) + g'\cdot\log f\tag{deriv. of $\log f$}$$ $$y' = \frac{gy}f \cdot f' + y\log f\cdot g'\tag{mult. by $s$, rearrange}$$ $$y' = \frac{gf^g}f\cdot f' + f^g\log f\cdot g'\tag{defn. of $s$}$$ $$y' = \boxed{gf^{g-1}\cdot f' + f^g\log f\cdot g'}\tag{combine powers of $f$}$$