Cómo hallar la suma de esta serie infinita.

Question

¿Cómo hallar la suma de las siguientes series? Guíeme amablemente sobre el término general, entonces puedo dar un tiro en la suma.

$$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} -\frac{1}{9} +\frac{1}{11} - \frac{1}{14} + \cdots$$

Answer 1

Su suma es $$S = \dfrac11 - \dfrac14 + \dfrac16 - \dfrac19 + \dfrac1{11} - \dfrac1{14} \pm \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac1{5k+1} - \dfrac1{5k+4}\right)$$

Considere $f(t) = 1 - t^3 + t^5 - t^8 \pm \cdots $ para $\vert t \vert < 1$ .

Se trata de una serie geométrica y se puede sumar para $\vert t \vert < 1$ .

Resumiendo obtenemos que $f(t) = \dfrac{1-t^3}{1-t^5}$ para $\vert t \vert <1$ .

Ahora integra $f(t)$ término por término de $0$ a $1$ e integrar $\dfrac{1-t^3}{1-t^5}$ de $0$ a $1$ para obtener la respuesta, es decir, tenemos $$\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac1{5k+1} - \dfrac1{5k+4}\right) = \int_0^1 \dfrac{1-t^3}{1-t^5} dt$$

Se obtiene una suma similar utilizando la misma idea aquí .

Answer 2

Parece que estás viendo $$\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{5k+1}-\frac{1}{5k+4}\right).$$

Answer 3

Utilizando el valor principal para el serie armónica doblemente infinita produce $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac1{5k+1} - \dfrac1{5k+4}\right) &=\frac15\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{1}{k+1/5}\\ &=\frac{\pi}{5}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\frac{\pi}{5}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}} \end{align} $$