El estándar $n$-simplex es el conjunto $$\Delta_n=(x_1,...,x_{n+1})\in \{\mathbb R^{n+1}: \Sigma x_i=1, x_i\geq0\}.$$ I'd like to prove that $\prod_{i=1}^p \Delta_{m_i}$ is homeomorphic to $\Delta_m$, with $m=\sum_{i=1}^p m_i$. I noticed that it is suffices to show that $\Delta_m \times \Delta_n \simeq \Delta_{m+n}$. For this, my hint is to map $z\in \Delta_m \times \Delta_n$, which is a point of the form $$(x_1,x_2,...,x_m,1-\Sigma x_i)\times(y_1,y_2,...,y_n,1-\Sigma y_j)$$ to $$(x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n,1-\Sigma x_i-\Sigma y_j).$$ Si no me malinterprete, que mapa es bijective, continua y tiene inversa continua. A continuación, hemos terminado. Pero me pregunto si hice algún error, ya que la única prueba de que he encontrado acerca de este resultado es el que está en http://www.cs.ubc.ca/~jiang/papers/NashReport.pdf (páginas 8 y 9), que es más largo y más complejo. Si alguien me podría ayudar a comprobar mi intento, yo estaría agradecido. Gracias!
Respuesta
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Vamos a probar y ver si la prueba funciona $n = m = 1$. Escribir
$$ \Delta_1 = { (t, 1 - t) \, | \, t \in [0,1] } $$
y utilizar el parámetro de $s$ para la segunda copia de $\Delta_1$. Entonces sugiero definir un mapa $f \colon \Delta_1 \times \Delta_1 \rightarrow \mathbb{R}^3$ por
$$ f((t,1-t), (s, 1-s)) = (t, s, 1 - t - s).$$
Sin embargo, tenemos
$$ f((1,0), (1,0)) = (1, 1, 1 - 1 - 1) = (1,1,-1) $$
por lo que la imagen del mapa $f$ no se encuentra en el simplex $\Delta_2$ por lo que el mapa no puede ser un Homeomorfismo entre $\Delta_1 \times \Delta_1$y $\Delta_2$.
