Función biyectiva excepto 0

Question

La construcción de un bijective función de $f:\mathbb R\to\mathbb R\setminus\{0\}$. Probar que la función es bijective.

Estoy teniendo problemas con esto... Un par de conceptos que me siento tan lejos es que la función esencialmente debe estar representando $\mathbb R$, que a su vez los mapas para el mismo conjunto de números reales excepto 0. Estoy pensando en probar su bijective probando la función es tanto inyectiva y surjective. Estoy pensando en hacer $x^2+1$ pero estoy seguro si esta es la clase derecha de la pista para tomar. Realmente apreciaría orientación

Answer 1

El clásico número natural cambio de argumento funciona: $$f(x)=\begin{cases}x+1&x\in\mathbb N\\x&\text{else}\end{cases}$$ (Aquí se $0\in\mathbb N$.)

Supongamos $f(a)=f(b)$. A continuación, ya sea este valor no es un número entero positivo, en cuyo caso $a=b$ (desde que el primer caso sólo se produce enteros positivos), o es un entero positivo, de donde $a=b=f(a)-1=f(b)-1$ nuevo. Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Los números reales que no son enteros positivos son las imágenes de sí mismos, mientras que los enteros positivos son las imágenes de sus respectivos predecesores. Por lo tanto $f$ es también surjective, por lo tanto bijective.

La función inversa es $$f^{-1}=\begin{cases}x-1&x\in\mathbb N,x\ne0\\x&\text{else}\end{cases}$$

Answer 2

Esta es una función que utilizaría. Sea el conjunto de los números naturales (<span class="math-container">$\mathbb{N}$</span>) incluyendo <span class="math-container">$0,1,2,3...$</span> <span class="math-container">$0$</span>

<span class="math-container">$$f(x) = \begin{cases} x+1&x\in\mathbb{N}\x&x\notin\mathbb N\end{cases}$$</span>

Es bastante trivial para ver que <span class="math-container">$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus{0}$</span>. ¡Mostrando inyectabilidad y suprayectividad con esto por trozos función es bastante fácil, así que darle un tiro!

Answer 3

Sugerencia

Considerar <span class="math-container">$A={1/n|n\in\mathbb{N}}\cup {0}.$</span> Define:

• <span class="math-container">$x\in \mathbb{R}\setminus A\implies f(x)=x;$</span>
• <span class="math-container">$f(0)=1;$</span>
• <span class="math-container">$f(1)=1/2;$</span>
• <span class="math-container">$f(1/2)=1/3;$</span>