Estoy luchando para mostrar que $$\dfrac \pi{2\sqrt3}=1-\dfrac 15+\dfrac 17-\dfrac 1{11}+\dfrac 1{13}-\dfrac 1{17}+\dfrac 1{19}-\cdots$$ by using the Fourier series $% $ $\frac \pi2-\frac x2=\sum_1^\infty \dfrac {\sin(nx)}{n}.$
¿Alguien me puede dar alguna pista?
Mi primer pensamiento no hizo uso de la identidad en la pregunta, sino que se utiliza la identidad de $(7)$ demostrado en esta respuesta, $$ \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{z+k}=\pi\cuna(\pi z)\etiqueta{1} $$ así que $$ \begin{align} \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{1+6k} &=\frac16\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{\frac16+k}\\ &=\frac16\pi\cot\left(\frac\pi6\right)\\[6pt] &=\frac\pi6\sqrt3\\[6pt] &=\frac\pi{2\sqrt3}\tag{2} \end{align} $$
Para utilizar la identidad de la cuestión, $$ \frac\pi2-\frac x2=\sum_1^\infty\frac{\sin(nx)}n\etiqueta{3} $$ parece que se podría considerar el $x=\frac\pi3$: $$ \begin{align} \frac\pi2-\frac\pi6 &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\left(\frac{n\pi}3\right)}{n}\\ &=\frac{\sqrt3}2\left(\color{#C00000}{\frac11}\color{#0000F0}{+\frac12-\frac14}\color{#C00000}{-\frac15+\frac17}\color{#0000F0}{+\frac18-\frac1{10}}\color{#C00000}{-\frac1{11}+\frac1{13}}+\dots\right)\\ &=\frac{\sqrt3}2(\color{#C00000}{A}+\color{#0000F0}{B})\tag{4} \end{align} $$ Tenga en cuenta que la suma buscamos es $A$. Es un ejercicio fácil para comprobar que la serie tanto $A$ $B$ convergen (mediante La Alternancia de Serie de la Prueba).
Ahora tenemos que $(A+B)+2B=2A$: $$ \begin{array}{rl} \displaystyle A+B=&\displaystyle\frac11+\frac12-\frac14-\frac15+\frac17+\frac18-\frac1{10}-\frac1{11}+\frac1{13}+\dots\\ \displaystyle 2B=&\displaystyle\frac11-\frac12+\frac14-\frac15+\frac17-\frac18+\frac1{10}-\frac1{11}+\frac1{13}+\dots\\ \displaystyle 2A=&\displaystyle\frac21\phantom{+\frac02-\frac04}\ \ -\frac25+\frac27\phantom{+\frac08-\frac0{10}}\ \ -\frac2{11}+\frac2{13}+\dots\tag{5} \end{array} $$ Por lo tanto, $A=3B$. El uso de este en $(4)$ da $$ \frac\pi3=\frac{\sqrt3}2\left(A+\frac13A\right)\etiqueta{6} $$ y la solución para $A$ rendimientos $$ A=\frac\pi{2\sqrt3}\etiqueta{7} $$
En la siguiente figura, en la que el trigonométricas en el círculo ha sido dividido en seis partes iguales, podemos ver claramente que para $x= \frac {\pi}{3}$ las siguientes igualdades se verifican:
$sin( \frac{n\pi}{3})=\frac{\sqrt3}{2}$ $n=1,2,7,8,……, 1+6n,2+6n,…..$
$sin( \frac{n\pi}{3})=\frac{-\sqrt3}{2}$ $n=4,5,10,11,......,4+6n,5+6n$
$sin( \frac{n\pi}{3})=0$ $n=3,6,9,12,……,3n$
Por lo tanto, para $x= \frac {\pi}{3}$
$$\frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt 3}{2}\sum_{n=1}^{\infty} [\frac{1}{1+6n} +\frac{1}{2+6n}-\frac{1}{4+6n}-\frac{1}{5+6n}]$$ Tenemos $$\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt 3}{2}A\iff \frac{\pi}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}A=(1-\frac14)A$$ A partir de la cual vemos el extraño denominador términos $$\frac{1}{1+6n} -\frac{1}{5+6n}$$ remain unchanged and the even-denominator terms $$\frac{1}{2+6n} -\frac{1}{4+6n}-\frac{1}{4+24n}-\frac{1}{8+24n}+\frac{1}{16+24n}+\frac{1}{20+24n}$$
dar una telescópico de la serie del total de la suma sea igual a cero.
(Tenga en cuenta que $4+24n=4+6(4n)$;$8+24n=2+6(4n+1)$; $16+24n=4+6(4n+2)$;$20+24n=2+6(4n+3)$; obtenemos $$0=\frac12-(\frac14+\frac14)= \frac18-\frac18=\frac{1}{10}-(\frac{1}{20}+\frac{1}{20})=\frac{1}{14}-(\frac{1}{28}+\frac{1}{28})$$ etc.
Así terminamos con la adición de los términos de $$\frac{1}{1+6n} -\frac{1}{5+6n}$$
El enfoque que le damos es encontrar una discreta y finita de Fourier de la serie de el periódico de secuencia $f(n)$ en la suma de $\sum\frac{f(n)}{n} = \frac{\color{red}{1}}{1} + \frac{\color{red}{0}}{2} + \frac{\color{red}{0}}{3} + \frac{\color{red}{0}}{4} + \frac{\color{red}{-1}}{5} + \frac{\color{red}{0}}{6} \ldots$ estamos tratando de calcular. Esto nos va a permitir utilizar esta (finito) la transformada de Fourier de la serie en combinación con la serie de Fourier en la pregunta para evaluar la suma.
Considere la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ dada por (que es el carácter de Dirichlet modulo $6$ refirieron a Pablo en los comentarios)
$$f(n) = \left\{\matrix{0 & n\equiv 0\mod 6\\1 & n\equiv 1\mod 6\\0 & n\equiv 2\mod 6\\0 & n\equiv 3\mod 6\\0 & n\equiv 4\mod 6\\-1 & n\equiv 5\mod 6}\right.$$
Esta función está construido de tal manera que su serie se puede escribir como
$$1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n}$$
Desde $f$ es periódica con período de $6$ tiene una serie de Fourier
$$f(n) = \sum_{k=0}^5c_k \sin\left(\frac{2\pi k}{6}n\right)$$
donde los coeficientes están dados por
$$c_k = \frac{1}{6}\sum_{j=0}^5f(j)\sin\left(\frac{2\pi k}{6}j\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)-\sin\left(\frac{5\pi k}{3}\right)}{6}$$
La suma que usted está después de que por lo tanto puede ser escrito como
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n} = \sum_{k=0}^5c_k \color{red}{\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\left(\frac{2\pi k}{6} n\right)}{n}} = \sum_{k=0}^5c_k\color{red}{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\left(\frac{2\pi k}{6}\right)}{2}\right)}$$
donde hemos utilizado la serie de Fourier en la pregunta para evaluar el infinito sumas. Esto da el resultado deseado
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n} = \sum_{k=0}^5\frac{\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)-\sin\left(\frac{5\pi k}{3}\right)}{6} \frac{(3-k)\pi}{6} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$$
El método que hemos utilizado anteriormente se generaliza para el cómputo de la suma de una serie de $\sum \frac{f(n)}{n}$ donde $f(n)$ es una función periódica (con el entero período).
Esta suma puede abordarse mediante el teorema del residuo.
$$S=\sum_{k=0}^{\infty} \left ( \frac1{6 k+1} - \frac1{6 k+5}\right ) = \frac12 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left ( \frac1{6 k+1} - \frac1{6 k+5}\right )$$
Así, considerar el contorno integral
$$\oint_{C_N} dz \frac{2 \pi \, \cot{\pi z}}{36 \left (z+\frac16\right ) \left (z+\frac{5}{6}\right )} $$
$C_N$ Dónde está el cuadrado con vértices en $z =\pm (N \pm 1/2)$. $N \to \infty$, La integral es cero. Así la suma de los residuos en el % de postes $z=k, k \in \mathbb{Z}$y $z=-1/6$ y $z=-5/6$ son cero. Así tenemos
$$\sum_{k=0}^{\infty} \left ( \frac1{6 k+1} - \frac1{6 k+5}\right ) =-\frac{\pi}{18} \left [\frac{\cot{\left ( -\frac{\pi}{6} \right )}}{\frac{4}{6}} + \frac{\cot{\left ( -\frac{5 \pi}{6} \right )}}{-\frac{4}{6}} \right ] = 2 \sqrt{3} \frac{\pi}{18} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$$
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