En Real y en el Análisis Complejo, Walter Rudin propone el siguiente problema:
Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de funciones continuas en $[0,1]$ con $0\leq f_n\leq 1$ e tal que para todos los $x\in [0,1]$, $f_n(x)\to 0$. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\:\mathrm{d}x=0.$$ También tratamos de probar esta sin usar nada de Lebesgue de la teoría. (Esta prueba se pretende mostrar cómo de potente es Lebesgue a la teoría.)
(Esta es mi traducción, ya que tengo la versión francesa del libro).
Desde Rudin hace esta observación en la prueba, a mí me parece que esto debería ser un problema difícil de hacer sin Lebesgue de la maquinaria. Sin embargo, pensé en la siguiente solución:
Desde $[0,1]$ es compacto y $f_n\to 0$ pointwise, tenemos que $f_n\to 0$ uniformemente. Entonces $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\:\mathrm{d}x=\int_0^1\lim_{n\to\infty}f_n(x)\:\mathrm{d}x=0.$$
Es esto un error? Si es así, ¿por qué?
