¿Cómo mostrar que existe el límite de valor?

Question

Aquí tengo la función $$f(x,y)=\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}$$ Sé que $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0$ porque si ponemos $y=mx$, entonces tenemos $$f(x,mx)=\frac{x(1-m^2)}{1+m^2}$$ $$\Rightarrow~\lim\limits_{x \to 0}f(x,mx)=0 $$ Pero cómo demostrar a través de la definición $\epsilon-\delta$ que el valor límite de la función existe. Gracias de antemano

Answer 1

Mostrar que en la curva y = mx tu límite es el mismo para cada m no es suficiente, porque puedes acercarte al punto (0,0) a través, digamos, de la curva y = sin(x) (sin(x) tiende a 0, cuando x tiende a 0, todo sigue bien). Pero para no alejarnos del tema, veamos: $$\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} = \frac{(x+y)(x-y)}{x^2+y^2}x $$

Olvídemonos por un momento del último "x" que quedó en la fracción. Observa la expresión: $$ \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 1 - 2 \frac{y^2}{x^2+y^2} $$ Claramente, eso no puede ser mayor que 1 (porque $\frac{y^2}{x^2+y^2} $ no es negativo), ni menor que -1 (porque $\frac{y^2}{x^2+y^2}$ no puede ser mayor que 1)

Así que obtenemos una desigualdad MUY importante: $$ 0 \leq |\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}| \leq |x| $$

Finalmente, concluimos que x tiende a 0 cuando (x,y) tiende a (0,0). Por el teorema del sándwich (creo que se llama así en inglés) obtienes lo que querías.

Answer 2

Para $x,y\in\mathbb{R}$ es $$0\leq|x^2-y^2|\leq x^2+y^2,$$ por lo tanto si $xy \neq 0$ obtenemos $$0\leq\frac{|x^2-y^2|}{x^2+y^2}\leq 1.$$ Entonces $$0<|x|\frac{|x^2-y^2|}{x^2+y^2}\leq |x|$$ y el valor $0$ del límite sigue inmediatamente.

Nota añadida para completar $\epsilon-\delta.$

Dado que $$0<|x|\frac{|x^2-y^2|}{x^2+y^2}\leq |x|\leq \sqrt{x^2+y^2},$$ para cualquier $\epsilon$ se puede elegir $\delta=\epsilon,$ y está hecho.

Answer 3

$\left |\dfrac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2} \right |\le$

$|x| + \left |\dfrac{x(-2y^2)}{x^2+y^2}\right | \le $

$|x| + |2x| = 3|x| =$

$3\sqrt{x^2} \le 3\sqrt{x^2+y^2}$.

Dado $\epsilon >0.$

Elige $\delta =\epsilon/3$.

Answer 4

Escribiría esta ecuación en coordenadas polares. $$x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta$$ Entonces $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{r\to 0}\frac{r^3(\cos^3\theta-\cos\theta\sin^2\theta)}{r^2}$$ El valor absoluto de la expresión entre paréntesis siempre es menor que $2$, así que es fácil escribir la solución $\delta-\varepsilon$.